氫化甲醯化反應

[拼音]：Mo’ersi lilun

[外文]：Morse theory

微分拓撲的一個重要分支。通常是指兩部分內容：一部分是微分流形上可微函式的莫爾斯理論，即臨界點理論；另一部分是變分問題的莫爾斯理論，即大範圍變分法。確切地說，假設ƒ是n維微分流形M上的實值可微函式，ƒ的臨界點p是指梯度向量場grad ƒ的零點，即在區域性座標下使得

的點。ƒ的全部臨界點的性態與流形M本身的拓撲結構有密切的關係，探索這些關係就是臨界點理論的主要任務。例如，著名的莫爾斯不等式就是這樣一種關係：

M0≥R0

M1-M0≥R1-R0，

……

Mk-Mk-1+…±M0≥Rk-Rk-1+…±R0，

……

Mn-Mn-1+…±M0=Rn-Rn-1+…±R0，

式中Rk是n維閉流形M的k維模2貝蒂數，即同調群hk(M，Z2)的秩，Mk是M上非退化函式ƒ的指數為k的臨界點的個數。這裡說ƒ是非退化函式，是指ƒ的任何臨界點p均非退化，即在區域性座標下ƒ在p處的黑塞矩陣

之秩為n；這個矩陣的負特徵值的個數稱為臨界點p的指數。莫爾斯不等式是H.M.莫爾斯本人在20世紀20年代建立的基本結果，後來有了遠為一般的結果。例如，考慮圖1

中環面M 關於水平切面V的高度函式ƒ:M→R，其中p，q，r，s是ƒ的四個非退化臨界點，其指數分別為0，1，1，2，因為可以適當選擇區域性座標，使得在p的鄰近ƒ=ƒ(p)+x2+y2(旋轉拋物面)，在q的鄰近ƒ=ƒ(q)-x2+y2(鞍面)，在r的鄰近ƒ=ƒ(r)-x2+y2（鞍面），在s的鄰近ƒ=ƒ(s)-x2-y2(旋轉拋物面)。命

不難看出，當α由小變大經過各個臨界值時，Mα的同倫型發生表

中所列的變化。

可見，當α從小變大經過指數為λ的臨界點時，Mα的同倫型變化相當於粘上一個λ維胞腔，從而整個環面M的同倫型相當於由一個 0維胞腔、兩個一維胞腔以及一個二維胞腔組成的CW復形，這樣就把M的同倫型與ƒ 的臨界點的性態聯絡起來了。如果把這個事實推廣到一般情形就是：

臨界點理論的基本定理

命M是微分流形，ƒ:M→

B

是非退化函式，並且任何Mα都是緊緻集。於是，每個Mα都具有一個有限CW復形的同倫型，從而整個M具有一個至多是可數的CW復形的同倫型：對於指數為 λ的每個臨界點，這個復形有一個λ維胞腔。

臨界點理論的應用中最完美的是對測地線問題的應用，這就是變分學的莫爾斯理論。例如，考慮完備黎曼流形M上兩個固定端點p和q之間的測地線問題，即是使弧長為極小的變分問題：

式中ω:[0，1]→M 表示M上的逐段光滑道路，ω(0)=p，ω(1)=q；這個變分問題的泛極線就是所謂測地線。於是，從p 到q 的所有光滑測地線的性態與流形M的拓撲結構之間是否有什麼關係，這就是大範圍變分學要研究的主要問題，可以應用臨界點理論的框架得到相似的結果。命Ω=Ω (M；p，q)表示M上從p到q所有逐段光滑道路組成的空間，具有尺度拓撲。

式中ρ 表示M上由黎曼尺度匯出的距離函式；

表示ω 上的弧長。

大範圍變分學基本定理

命M是完備黎曼流形，p，q∈M沿任何測地線不共軛，則Ω(M；p，q)具有可數CW復形的同倫型：對於從p到q每條指數為λ的測地線，這個復形有一個λ維胞腔。

隨著拓撲學的發展，莫爾斯理論本身也有很大的飛躍。例如，由於臨界點定義為梯度向量場grad ƒ 的零點，自然可以考慮n維閉流形M上一般向量場X 的零點與M的拓撲結構之間的關係，即M上的動力系統

的奇點與M的拓撲結構的關係。S.斯梅爾在某些假設下得到了形式相同的莫爾斯不等式，不過這時Mk=αk+bk+bk+1，αk表示向量場X 的k型零點的個數，bk表示k型閉軌線的條數。斯梅爾正是在這個基礎上完成了他關於高維龐加萊猜想的卓越工作，這是微分拓撲學的重大成就之一。其次，由於測地線問題是一維變分問題，本來是無限維的空間Ω才能化為有限維流形應用臨界點理論來處理。但一般的多維變分問題就無法做到這一點，因而要求發展無限維流形上的臨界點理論，直接處理相應的無限維空間Ω，從而把原來的兩個方面統一起來。

參考書目

J.Milnor 著，江嘉禾譯：Morse理論，《數學譯林》，北京，1980～1981。(J. Milnor，Morse Theory， Ann. Math. Studies，Princeton Univ. Press， Princeton， 1963.)

H.賽弗爾、W.施雷法著，江嘉禾譯:《大範圍變分學》，上海科學技術出版社，上海，1963。(H.Seifert und W.Threlfall，variationsrechnung im Grossen，Chelsea Pub.Co.，1948.)

S.Smale， Morse Inequalities for a Dynamical Systems，Bull. Amer. Math.Soc.，Vol. 66， pp.43～49，1960.

R.S.Palais， Morse Theory on Hibert Manifolds，Topology，Vol.2，pp. 299～340， 1963.

R.S.Palais and S.Smale，A Generalized MorseTheory，Bull. Amer. Math. Soc.，Vol.70，pp. 165～172， 1964.