高中雙曲線知識點總結

　　進入高三總複習的第一階段，同學們應從基礎知識抓起，紮紮實實，一步一個腳印地過數學知識點關。複習時，將雙曲線方程知識點總結熟練掌握運用，小編相信您一定可以提高數學成績!

　　高中雙曲線知識點總結1

　　雙曲線的第一定義：

　　⑴①雙曲線標準方程：. 一般方程：.

　　⑵①i. 焦點在x軸上：

　　頂點：焦點：準線方程漸近線方程：或ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準線方程：. 漸近線方程：或，引數方程：或 .

　　②軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準線距(兩準線的距離);通徑. ⑤引數關係. ⑥焦點半徑公式：對於雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)

　　長加短減原則：

　　構成滿足(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號)

　　⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

　　⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

　　⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.

　　例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程?

　　解：令雙曲線的方程為：，代入得.

　　⑹直線與雙曲線的位置關係：

　　區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;

　　區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;

　　區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;

　　區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;

　　區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

　　小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.

　　(2)若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.

　　⑺若P在雙曲線，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m︰n.簡證： =.

　　常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等於b.

　　高中雙曲線知識點總結2

　　一、用好雙曲線的對稱性

　　例1若函式y=kx(k>0)與函式y=的圖象相交於A、C兩點，AB⊥x軸於B。則△ABC的面積為( )。

　　A。1 B。2 C。3 D。4

　　解：由A在雙曲線y=上，AB⊥x軸於B。

　　∴S△ABO=_1=

　　又由A、B關於O對稱，S△CBO= S△ABO=

　　∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1故選(A)

　　二、正確理解點的座標的.幾何意義

　　例2如圖，反比例函式y=-與一次函式y=-x+2的圖象交於A、B兩點，交x軸於點M，交y軸於點N，則S△AOB= 。

　　解：由y=-x+2交x軸於點M，交y軸於點N

　　M點座標為(2，0)，N點座標為(0，2) ∴OM=2，ON=2

　　由解得或

　　∴A點座標為(-2，4)，B點座標為(4，-2)

　　S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM

　　=ON·+OM·ON+OM·=6

　　(或S△AOB=S△AOM+S△BOM=OM·+OM·=6)

　　三、注意分類討論

　　例3如圖，正方形OABC的面積為9，點O是座標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函式y=(k>0，x>0)的圖象上。點P(m、n)是函式函式y=上任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線。垂足分別為E、F，並設矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S。

　　⑴求點B的座標和k值。

　　⑵當S=時，求P點的座標。

　　解：⑴設B點座標為(x0，y0)，B在函式y=(k>0，x>0)的圖象上，∴S正方形OABC= x0y0=9，∴x0=y0=3

　　即點B座標為(3，3)，k= x0y0=9

　　⑵①當P在B點的下方(m>3)時。

　　設AB與PF交於點H，∵點P(m、n)是函式函式y=上，

　　∴S四邊形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3n

　　∴S=9-3n=，解得n=。當n=時，=，即m=6

　　∴P點的座標為(6，)

　　②當P在B點的上方(m<3)時。同理可解得：P1點的座標為(，6)

　　∴當S=時，P點的座標為(6，)或(，6)。

　　四、善用“割補法”

　　例4如圖，在直角座標系xOy中，一次函式y=k1x+b的圖象與反比例函式y=的圖象相交於A(1，4)，B(3，m)兩點。

　　⑴求一次函式解析式;⑵求△AOB的面積。

　　解：⑴由A(1，4)，在y=的圖象上，∴k2=xy=4

　　B(3，m)在y=的圖象上，∴B點座標為(3，)

　　A(1，4)、B(3，)在一次函式y=k1x+b的圖象上，

　　可求得一次函式解析式為：y=-x+。

　　⑵設一次函式y=-x+交x軸於M，交y軸於N(如圖)。則M(4，0)，N(0，)

　　S△AOB=S△MON-S△OBM-S△AON=OM·ON—OM-ON

　　=_4_-_4_-__1=

　　五、構造特殊輔助圖形

　　例5如圖，已知直線y=x與雙曲線y=(k>0)交於A、B兩點，且點A橫座標為4。⑴求k的值;⑵若雙曲線y=(k>0)上一點C的縱座標為8，求△AOC的面積。⑶過原點O的另一條直線交雙曲線y=(k>0)於P、Q兩點(P點在第一象限)，若由點ABPQ為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的座標。

　　解：⑴A橫座標為4，在直線y=x上，A點座標為(4，2)

　　A(4，2)又在y=上，∴k=4_2=8

　　⑵C的縱座標為8，在雙曲線y=上，C點座標為(1，8)

　　過A、C分別作x軸、y軸垂線，垂足為M、N，且相交於D，則得矩形ONDM。S矩形ONDM=4_8=32。

　　又S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4

　　∴S△AOC= S矩形ONDM―S△ONC―S△CDA―S△OAM=32―4―9―4=15

　　⑶由反比例函式圖象是中心對稱圖形，OP=OQ，OA=OB，

　　∴四邊形APBQ是平行四邊形。S△POA=S四邊形APBQ=6

　　設P點的座標為(m，)，過P、A分別作x軸、y軸垂線，垂足為E、M。

　　∴S△POE=S△AOM=k=4

　　①若0

　　∵S△PEO+S梯形PEMA=S△POA+S△AOM，∴S梯形PEMA=S△POA=6

　　∴(2+)(4-m)=6解得m=2或m=-8(捨去) P點的座標為(2，4)

　　②若m>4時，同理可求得m=8或m=-2(捨去)，P點的座標為(8，1)

　　怎樣學好數學的方法

　　利用好課前和課後時間

　　想要學好數學其實是很容易的一件事，首先在上數學課前一定要充分利用課前時間進行復習，課前的學習時間是非常重要的，要學會利用起來，課前預習的時候把自己不理解的地方都給整理出來，然後在老師講課的時候可以提出來，這樣不僅和及時解決問題還可以讓自己的知識點得到鞏固，課後鞏固知識點也是非常重要的，課後額鞏固可以讓自己的知識點得到一個再次記憶的效果，能夠加深記憶數學知識點的效果。

　　學會高效利用數學輔導書

　　在學習數學的過程中是難免會遇到難題和問題的，選擇一個好的輔導書也是很重要的，輔導書儘量選擇一個能夠經常用的，因為三年的時間都要用一個型別的輔導書，儘量讓輔導書統一。遇到課本上不會的題型可以及時的翻看輔導書進行解決，輔導書上還有一些書上的題型解答，遇到不會的問題可以及時進行解決，但是要注意的問題是不要太過於依賴輔導書，過於依賴輔導書會產生一遇到不會的題就看輔導書的習慣，對於獨立做題是沒有好處的。

　　數學概念

　　正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵——物件的“質”的特徵，及其外延——物件的“量”的範圍。一般來說，數學概念是運用定義的形式來揭露其本質特徵的。但在這之前，有一個透過例項、練習及口頭描述來理解的階段。

　　比如，兒童對自然數，對運算結果——和、差、積、商的理解，就是如此。到小學高年級，開始出現以文字表達一個數學概念，即定義的方式，如分數、比例等。有些數學概念要經過長期的醞釀，最後才以定義的形式表達，如函式、極限等。定義是準確地表達數學概念的方式。

　　許多數學概念需要用數學符號來表示。如dy表示函式y的微分。數學符號是表達數學概念的一種獨特方式，對學生理解和形成數學概念起著極大的作用，它把學生掌握數學概念的思維過程簡約化、明確化了。許多數學概念的定義就是用數學符號來表達，從而增強了科學性。

　　許多數學概念還需要用圖形來表示。有些數學概念本身就是圖形，如平行四邊形、稜錐、雙曲線等。有些數學概念可以用影象來表示，比如函式y=x+1的影象。有些數學概念具有幾何意義，如函式的微分。數形結合是表達數學概念的又一獨特方式，它把數學概念形象化、數量化了。

　　總之，數學概念是在人類歷史發展過程中，逐步形成和發展的。