十字相乘法練習題
十字相乘法練習題
十字相乘法練習題
十字相乘法練習題答案
附：十字相乘法解析
十字相乘法雖然比較難學,但是學會了它, 用十字相乘法來解題的速度比較快，能夠節約時間，而且運算量不大，不容易出錯。它在分解因式/解一元二次方程中有廣泛的應用：
十字相乘法的方法：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。
例1 把m+4m-12分解因式
分析：本題中常數項-12可以分為-112，-26，-34，-43，-62，-121當-12分成-26時，才符合本題
解：因為 1 -2
1 ╳ 6
所以m+4m-12=(m-2)(m+6)
例2 把5x+6x-8分解因式
分析：本題中的5可分為15,-8可分為-18，-24，-42，-81。當二次項係數分為15，常數項分為-42時，才符合本題
解： 因為 1 2
5 ╳ -4
所以5x+6x-8=(x+2)(5x-4)
例3 解方程x-8x+15=0
分析：把x-8x+15看成關於x的一個二次三項式，則15可分成115，
35。
解： 因為 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可變形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x-5x-25=0
分析：把6x-5x-25看成一個關於x的'二次三項式，
則6可以分為16，23，-25可以分成-125，-55，-251。
解： 因為 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可變形成(2x-5)(3x+5)=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
用十字相乘法解一些比較難的題目：
例5 把14x-67xy+18y分解因式
分析：把14x-67xy+18y看成是一個關於x的二次三項式,
則14可分為114,27, 18y可分為y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因為 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x-67xy+18y= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x-27xy-28y-x+25y-3分解因式
分析：在本題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x-27xy-28y-x+25y-3
=10x-(27y+1)x -(28y-25y+3)
4y -3
7y ╳ -1
=10x-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)
2 -(7y 1)
5 ╳ 4y - 3
=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
=(2x -7y +1)(5x +4y -3)
說明：在本題中先把28y-25y+3用十字相乘法分解為(4y-3)(7y -1)，再用十字相乘法把
10x-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解為：[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
解法二、10x-27xy-28y-x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3
2 x -7y 1
5 x +4y ╳ -3
=[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3]
=(2x -7y+1)(5x +4y -3)
說明:在本題中先把10x-27xy-28y用十字相乘法分解為(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解為[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].
例7：解關於x方程：x- 3ax + 2aab -b=0
分析：2aab-b可以用十字相乘法進行因式分解
解：x- 3ax + 2aab -b=0
x- 3ax +(2aab - b)=0
1 -b
2 ╳ +b
x- 3ax +(2a+b)(a-b)=0
1 -(2a+b)
1 ╳ -(a-b)
[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0
所以 x1=2a+b x2=a-b
兩種相關聯的變數之間的二次函式的關係，可以用三種不同形式的解析式表示：一般式、頂點式、交點式交點式.利用配方法，把二次函式的一般式變形為 ：
Y=a[(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a2]
應用平方差公式對右端進行因式分解，得
Y=a[x+b/2a+b2-4ac/2a][x+b/2a-b2-4ac/2a]
=a[x-(-b-b2-4ac)/2a][x-(-b+b2-4ac)/2a]
因為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2=(-bb2-4ac)/2a
所以上式可寫成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根
因x1，x2恰為此函式圖象與x軸兩交點(x1，0)，(x2，0)的橫座標，故我們把函式y=a(x-x1)(x-x2)叫做函式的交點式.在解決二次函式的圖象和x軸交點座標有關的問題時，使用交點式較為方便。二次函式的交點式還可利用下列變形方法求得：
設方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2
根據根與係數的關係x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，
有b/a=-(x1+x2),c/a=x1x2
y=ax2+bx+c
=a[x2+b/a*x+c/a]
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
=a(x-x1)(x-x2)