指數函式練習題

指數函式練習題

　　1．設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，則(  )

　　A．y3>y1>y2       B．y2>y1>y3

　　C．y1>y2>y3   D．y1>y3>y2

　　解析：選D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，

　　y3＝(12)－1.5＝21.5，

　　∵y＝2x在定義域內為增函式，

　　且1.8>1.5>1.44，

　　∴y1>y3>y2.

　　2．若函式f(x)＝ax，x>14－a2x＋2，x≤1是R上的增函式，則實數a的取值範圍為(  )

　　A．(1，＋∞)   B．(1,8)

　　C．(4,8)   D．[4,8)

　　解析：選D.因為f(x)在R上是增函式，故結合圖象(圖略)知a>14－a2>04－a2＋2≤a，解得4≤a<8.

　　3．函式y＝(12)1－x的單調增區間為(  )

　　A．(－∞，＋∞)   B．(0，＋∞)

　　C．(1，＋∞)   D．(0,1)

　　解析：選A.設t＝1－x，則y＝12t，則函式t＝1－x的遞減區間為(－∞，＋∞)，即為y＝121－x的遞增區間．

　　4．已知函式y＝f(x)的定義域為(1,2)，則函式y＝f(2x)的定義域為________．

　　解析：由函式的.定義，得1＜2x＜20＜x＜1.所以應填(0,1)．

　　答案：(0,1)

　　1．設13<(13)b<(13)a<1，則(  )

　　A．aa<ab<ba   B．aa<ba<ab

　　C．ab<aa<ba   D．ab<ba<aa

　　解析：選C.由已知條件得0<a<b<1，

　　∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.

　　2．若(12)2a＋1<(12)3－2a，則實數a的取值範圍是(  )

　　A．(1，＋∞)   B．(12，＋∞)

　　C．(－∞，1)   D．(－∞，12)

　　解析：選B.函式y＝(12)x在R上為減函式，

　　∴2a＋1>3－2a，∴a>12.

　　3．下列三個實數的大小關係正確的是(  )

　　A．(12011)2＜212011＜1   B．(12011)2＜1＜212011

　　C．1＜(12011)2＜212011   D．1＜212011＜(12011)2

　　解析：選B.∵12011＜1，∴(12011)2＜1,212011＞20＝1.

　　4．設函式f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，則(  )

　　A．f(－1)＞f(－2)   B．f(1)＞f(2)

　　C．f(2)＜f(－2)   D．f(－3)＞f(－2)

　　解析：選D.由f(2)＝4得a－2＝4，又a＞0，∴a＝12，f(x)＝2|x|，∴函式f(x)為偶函式，在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增．

　　5．函式f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上(  )

　　A．單調遞減無最小值   B．單調遞減有最小值

　　C．單調遞增無最大值   D．單調遞增有最大值

　　解析：選A.u＝2x＋1為R上的增函式且u＞0，

　　∴y＝1u在(0，＋∞)為減函式．

　　即f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上為減函式，無最小值．

　　6．若x＜0且ax＞bx＞1，則下列不等式成立的是(  )

　　A．0＜b＜a＜1   B．0＜a＜b＜1

　　C．1＜b＜a   D．1＜a＜b

　　解析：選B.取x＝－1，∴1a＞1b＞1，∴0＜a＜b＜1.

　　7．已知函式f(x)＝a－12x＋1，若f(x)為奇函式，則a＝________.

　　解析：法一：∵f(x)的定義域為R，且f(x)為奇函式，

　　∴f(0)＝0，即a－120＋1＝0.

　　∴a＝12.

　　法二：∵f(x)為奇函式，

　　∴f(－x)＝－f(x)，

　　即a－12－x＋1＝12x＋1－a，解得a＝12.

　　答案：12

　　8．當x∈[－1,1]時，f(x)＝3x－2的值域為________．

　　解析：x∈[－1,1]，則13≤3x≤3，即－53≤3x－2≤1.

　　答案：－53，1

　　9．若函式f(x)＝e－(x－u)2的最大值為m，且f(x)是偶函式，則m＋u＝________.

　　解析：∵f(－x)＝f(x)，

　　∴e－(x＋u)2＝e－(x－u)2，

　　∴(x＋u)2＝(x－u)2，

　　∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.

　　∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1，

　　∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1.

　　答案：1

　　10．討論y＝(13)x2－2x的單調性．

　　解：函式y＝(13)x2－2x的定義域為R，

　　令u＝x2－2x，則y＝(13)u.列表如下：

　　u＝x2－2x

　　＝(x－1)2－1 y＝(13)u

　　y＝(13)x2－2x

　　x∈(－∞，1]

　　x∈(1，∞)

　　由表可知，原函式在(－∞，1]上是增函式，在(1，＋∞)上是減函式．

　　11．已知2x≤(14)x－3，求函式y＝(12)x的值域．

　　解：由2x≤(14)x－3，得2x≤2－2x＋6，

　　∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴(12)x≥(12)2＝14，

　　即y＝(12)x的值域為[14，＋∞)．

　　12．已知f(x)＝(12x－1＋12)x.

　　(1)求函式的定義域；

　　(2)判斷函式f(x)的奇偶性；

　　(3)求證：f(x)>0.

　　解：(1)由2x－1≠0，得x≠0，

　　∴函式的定義域為{x|x≠0，x∈R}．

　　(2)在定義域內任取x，則－x在定義域內，

　　f(－x)＝(12－x－1＋12)(－x)＝(2x1－2x＋12)(－x)

　　＝－1＋2x21－2xx＝2x＋122x－1x，

　　而f(x)＝(12x－1＋12)x＝2x＋122x－1x，

　　∴f(－x)＝f(x)，

　　∴函式f(x)為偶函式．

　　(3)證明：當x<0時，由指數函式性質知，

　　0<2x<1，－1<2x－1<0，

　　∴12x－1<－1，

　　∴12x－1＋12<－12.

　　又x<0，∴f(x)＝(12x－1＋12)x>0.

　　由f(x)為偶函式，當x>0時，f(x)>0.

　　綜上，當x∈R，且x≠0時，函式f(x)>0.