線性代數課件
線性代數課件
一、簡介
線性代數是代數學的一個分支，今天數學界一致認它作為一門獨立學科誕生於上世紀30年代，因為吸納了系統的線性代數內容的著作是在這一時期產生的，如Van的名著代數學第二卷就把線性代數作為其中的短短一章。
回顧線性代數的歷史基礎上，分析了關於線性代數的幾個核心問題：第一介紹了幾種關於線性代數基本結構問題的看法；第二介紹了關於線性代數的兩個基本問題，即“線性”和“線性問題”；第三介紹了線性代數的研究物件；第四分析了線性代數的結構體系。
上世紀80年代以來，隨著計算機應用的普及，線性代數理論被廣泛應用到科學、技術和經濟領域，因此線性代數也成為高等院校理工科各專業的一門基礎課程，文章簡述線性代數的相關核心核心問題。
二、線性代數的歷史
線性代數是代數學的一個分支，今天數學界一致認它作為一門獨立學科誕生於上世紀30年代，因為吸納了系統的線性代數內容的著作是在這一時期產生的，如Van的名著代數學第二卷就把線性代數作為其中的短短一章。但是線性代數的一些初級內容如行列式、矩陣和線性方程組的研究可以追溯到二百多年前；19世紀四五十年代Grassmann創立了用符號表述幾何概念的方法，給出了線性無關和基等概念，這標準著線性代數內容近代化開始；19世紀末向量空間的抽象定義形成，並在20世紀初被廣泛用於泛函分析研究，從而使線性代數成為以空間理論為終結的獨立學科，因此可以說線性代數是綜合了若干項獨立發展的數學成果而形成的。從上世紀六七十年代起線性代數進入了大學數學專業課程，在我國這門課程稱為高等代數，它以線性代數為主體並納入了一章多項式理論。
無論是高等代數或線性代數，這個課程有兩個特點：一個特點是各部分內容相對獨立，整個課程呈現出一種塊狀結構，原因是線性代數學科的形成過程本身就沒有一條明確的主線。我們幾乎可以找到從線性方程組，行列式，向量，矩陣，多項式，線性空間，線性變換中的任何一個分塊開始展開的教材，其展開過程主要取決於作者串聯這些分塊的形式邏輯的脈絡。另一個特點是內容抽象，要真正掌握線性代數的原理與方法必須具備較強的抽象思維能力，即對形式概念的理解能力和形式邏輯的演繹能力，而這兩種能力要求幾乎超越了大多數學生在中學階段的能力儲備，而必須在學習這門課程的過程中重塑。主要是這兩個原因，線性代數被認為是一門非常難掌握的課程，而克服這一困難的關鍵就是針對線性代數課程的這兩個特點進行有效的課程改革。
三、關於線性代數基本結構問題的看法
線性代數基本結構問題，學者們歷來有許多不同的看法，較為常見的是以下幾種：
第一種是以矩陣為中心。
這一看法認為整個線性代數以矩陣理論為核心，將矩陣理論視為各個內容聯絡的紐帶。在求線性方程組、判定方程組的解以及研究線性空間問題時，矩陣理論是重要工具。例如正交矩陣和對稱矩陣主要應用於歐氏空間和二次型方程問題中。可見，只要對矩陣知識有了全面系統的理解後，就能將各種問題都化解為矩陣理論中的.一部分，引申為矩陣問題。
第二種是以線性方程組為中心。
這一關觀點認為線性方程組是線性代數研究的基本問題。具體操作過程中，將線性方程組的理論和方法應用到各個章節，由此引出矩陣、行列式、向量等理論，最後列出方程組、求解，然後進一步應用，串聯起各部分內容。這一理論較為系統、科學，常常被初學者採納。
第三是一種線性代數體系，以線性變換和線性空間為核心。
在學習線性代數之前，學生要先掌握關係、集合、環、群、域等概念，形成對高等數學的研究物件、知識結構、表達方式的初步認識。線性代數體系依次安排了線性空間、內積空間、線性變化、矩陣概念和性質等章節。掌握線性變換基礎後，再教學線性方程組求解知識，在此基礎上，進一步引出特徵向量、特徵值和二次型理論。整個體系以線性代數為核心，內容介紹、理論講解及方法系統化為一個整體。
第四是以向量理論為核心。
對二維、三維直角座標系的研究是線性代數的起源。學生在中學時就已經瞭解了關於平面向量的一些基本知識，因此，將向量作為整個線性代數知識的核心，有利於使各部分內容的聯絡更加密切、理論體系更加完整完善，學生的空間概念也能得以加強。矩陣、行列式、線性方程組一般為研究維向量空間所必須的表示工具、向量的線性相關性的判別工具）和未知向量的計算工具，從宏觀講它們獨立於體系之外，從微觀講它們也是維向量空間的一些具體內容。而二次型僅僅是對稱雙線性函式的一個簡單應用。
四、線性和線性問題
“線性”這個數學名詞在中學數學課程中，學生從未接觸過。而這一課程是大學數學的基礎課程，學生剛進入大學，對這一詞彙的具體內容知之甚少。所以在學習之前，學生必須對什麼是“線性”有所瞭解，在“線性代數”這一課程中有對於“線性”概念的明確介紹。這是學習線性代數要解決的第一個基本問題，即什麼是“線性”。
從整個數學全域性來看線性代數，可將涉及到的數學問題分為兩類：即線性問題和非線性問題。其中，對於線性問題的研究，歷來有最完善的理論和最多的研究成果；並且，許多非線性問題往往也可以轉化為線性問題解答。所以解決具體的數學問題時，首先應判斷該問題是否屬於線性問題，如果是線性問題該採用怎樣的解決方法，如果不是線性問題，應考慮如何將其轉化為線性問題。這是學習線性代數要解決的第二個基本問題：什麼是“線性問題”，如何處理“線性問題”？
瞭解了什麼是“線性”、什麼是“線性問題”後，離完成線性代數的教學目的還有很長一段距離。如今的高校教育，一味灌輸給學生行列式、向量、矩陣、線性變換等空洞的數學定理，指導學生用這些理論來思考線性代數的基本結構、具體應用等問題。教師在教學線性代數問題時更是一味強調理論的選擇與應用，卻忽視了學生髮現問題、分析問題、解決問題的能力的培養。
五、線性代數的研究物件
稍微觀察一下我們可以發現，中學的初等代數就是線性代數的前身，只是在其基礎上的進一步抽象化。初等代數研究的多是具體的問題，運用加減乘除的運算方法即可解決問題；線性代數中則引入了許多新的概念，如向量、向量空間、集合、空間、矩陣等等，問題展現的形式發生了變化，要想解決問題，我們的思維方式也應該發生變化。涉及到新概念的數學問題往往都很抽象，如向量指的是既有數值又有具體方向的量；向量空間是許多量組成的集合，這一集合中的元素全都符合特定的運算規則；集合是具有某種屬性的事物的總和；矩陣理論則是一種更加抽象化的理論，因此我們的研究方法和思維方式都要隨之進行改變。如初等代數中的基本運演算法則性代數中經常會失效，線性代數的研究物件是向量運算、矩陣運算和線性變換，解決問題時，需要採用一種特殊的運算方法。
綜上所述，線性代數的學習中應重點培養兩個方面的能力：
一個是知識掌握的能力的培養。介紹知識時應堅持從易到難、循序漸進。先掌握好中學的運演算法則，再慢慢學習向量、矩陣知識，之後學習線性變換，最後綜合學習線性運算。學生經過中學階段的學習，完全掌握了加法和乘法這兩種基礎運演算法則，簡單瞭解了向量運算。矩陣知識相對於前者更加抽象，因此應放在之後學習。線性變換則是線性代數教學中的重點和難點所在，也是最容易被忽視的地方。由於線性變換可結合對映知識學習，而對映知識在中學數學和微積分教學中都有詳細的介紹，在此基礎上學生更容易理解線性變換及運算的相關知識，更容易解決矩陣特徵值問題、線性方程組問題及二次型問題等。
另外一個是思維能力的培養。在學習中，注意引導學生帶著問題學習，並在學習中進一步發現問題、解決問題，這是最有效的思維方式和學習方法。前文提到了學習線性代數必須先了解的兩個基本問題：什麼是“線性”、什麼是“線性問題”。這兩個基本問題應該始終貫穿性代數的學習過程中。無論在什麼階段的學習，都要注重理論知識和實際問題的有效結合。學生在掌握了一定的理論知識後，可嘗試去解決相關的實際問題。在這一過程中，學生會加深對理論知識的理解，並進一步發現自身知識儲備的不足之處。若單單追求知識的應用，而不加深自己的理論素養，最終也無法具備良好的思維能力。所以，在學習線性代數時，要培養好兩方面的能力，使之相輔相成、相互促進。
結語：
20世紀後50年計算技術的高速發展，推動了大規模工程和經濟系統問題的解決，使人們看到，線性代數和相關的矩陣模型是如微積分那樣的數學工具，無所不在的線性代數問題，等待著各層次的工程技術人員快速精確地去解決相關線性代數問題。因此絕大對工科學生而言，數學課應該使他們有宏觀的使用數學的思想，要使工程師瞭解工程中可能遇到的各種數學問題的類別，並且知道應該用什麼樣的數學理論和軟體工具來解決，這是一種高水平的抽象。而瞭解線性代數的核心問題，無疑對線性代數課程的學習有重要的價值。