高中函式單調性的教學設計
高中函式單調性的教學設計
教學目標
1、會用等比數列的通項公式和前n項和公式解決有關等比數列一些簡單問題;提高分析、解決實際問題的能力。
2、透過公式的靈活運用，進一步滲透分類討論的思想、等價轉化的思想。
函式的單調性
知識目標：初步理解增函式、減函式、函式的單調性、單調區間的概念，並掌握判斷一些簡單函式單調性的方法。
能力目標：啟發學生能夠發現問題和提出問題，學會分析問題和創造地解決問題；透過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進一步培養學生的邏輯推理能力和創新意識。
德育目標：在揭示函式單調性實質的同時進行辯證唯物主義思想教育。：
教學重點：函式單調性的有關概念的理解
教學難點：利用函式單調性的概念判斷或證明函式單調性
教 具： 多媒體課件、實物投影儀
教學過程：
一、創設情境，匯入課題
[引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：
問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？
問題2：怎樣用數學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特徵？
[引例2]觀察二次函式的圖象，從左向右函式圖象如何變化？並總結歸納出函式圖象中自變數x和 y值之間的變化規律。
結論：（1）y軸左側：逐漸下降； y軸右側：逐漸上升；
（2）左側 y隨x的增大而減小；右側y隨x的增大而增大。
上面的結論是直觀地由圖象得到的'。還有很多函式具有這種性質，因此，我們有必要對函式這種性質作更進一步的一般性的討論和研究。
二、給出定義，剖析概念
①定義：對於函式f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變數的值
⑴若當<時，都有f()<f(),則f(x)在這個區間上是增函式（如圖3）；
⑵若當<時，都有f()>f(),則f(x) 在這個區間上是減函式（如圖4）。
②單調性與單調區間
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式y=f(x)在這一區間具有單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.由此可知單調區間分為單調增區間和單調減區間。
注意：
（1）函式單調性的幾何特徵：在單調區間上，增函式的圖象是上升的，減函式的圖象是下降的。
當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2) y隨x增大而增大；當x1f(x2)y隨x增大而減小。
幾何解釋：遞增 函式圖象從左到右逐漸上升；遞減 函式圖象從左到右逐漸下降。
（2）函式單調性是針對某一個區間而言的，是一個區域性性質。
有些函式在整個定義域內是單調的；有些函式在定義域內的部分割槽間上是增函式，在部分割槽間上是減函式；有些函式是非單調函式，如常數函式。
判斷2：定義在R上的函式 f (x)滿足 f (2)> f(1)，則函式 f (x)在R上是增函式。（×）
函式的單調性是函式在一個單調區間上的“整體”性質，具有任意性，不能用特殊值代替。
訓練：畫出下列函式影象，並寫出單調區間：
三、範例講解，運用概念
例1 、如圖，是定義在閉區間[-5，5]上的函式的圖象，根據圖象說出的單調區間，以及在每一單調區間上，函式是增函式還減函式。
注意：
（1）函式的單調性是對某一個區間而言的，對於單獨的一點，由於它的函式值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題。
（2）在區間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內要完整。
例2 判斷函式 f (x) =3x+2 在R上是增函式還是減函式？並證明你的結論。
引導學生進行分析證明思路，同時展示證明過程：
證明：設任意的，且，則
由，得
於是
即。
所以，在R上是增函式。
分析證明中體現函式單調性的定義。
利用定義證明函式單調性的步驟：
①任意取值：即設x1、x2是該區間內的任意兩個值，且x1<x2
②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，並因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利於判斷差的符號的方向變形
③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號
④得出結論：根據定義作出結論（若差0，則為增函式；若差0，則為減函式）
即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論”
例3、 證明函式在(0,+)上是減函式.
證明：設，且，則
由，得
又由，得，
於是即。
即。
所以，函式在區間上是單調減函式。
問題1 ：在上是什麼函式？(減函式)
問題2 ：能否說函式在定義域上是減函式？ （學生討論得出）
四、課堂練習，知識鞏固
課本59頁 練習：第1、3、4題。
五、課堂小結，知識梳理
1、增、減函式的定義。
函式單調性是對定義域的某個區間而言的，反映的是在這一區間上函式值隨自變數變化的性質。
2、函式單調性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明：
證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結論。
六、佈置作業，教學延伸
課本60頁 習題2.3 ：第4、5、6題。