高中數學函式的單調性的教學設計
高中數學函式的單調性的教學設計
【教學目標】
1.知識與技能：從形與數兩方面理解函式單調性的概念，掌握利用函式圖象和定義判斷、證明函式單調性的方法步驟。
2.過程與方法：透過觀察函式圖象的變化趨勢——上升或下降，初步體會函式單調性，然後數形結合，讓學生嘗試歸納函式單調性的定義，並能利用影象及定義解決單調性的證明。
3.情感、態度與價值觀：在對函式單調性的學習過程中，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程，增強學生由現象猜想結論的能力。
【教學重點】 函式單調性的概念、判斷。
【教學難點】 根據定義證明函式的單調性。
【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習。
【教學工具】 教學多媒體。
【教學過程】
一、創設情境，引入課題
師：同學們剛剛從樓下走到了教室，如果把每一個樓梯的臺階都標上數字
，我們一起來描述一下從樓下走到教室這一過程中，同學們的位置變化。
生：隨著樓梯臺階標號的增大，我們所處的位置在不斷地上升。
師：(積極反饋，全班鼓掌表揚)反之，我們下樓時，我們的位置顯然是在下降的。
師：(閱讀教材，人教
版
節首內容，引導學生看圖
)結合上下樓的問題，引導學生識圖，捕捉資訊，啟發學生思考。
觀察圖
中的函式圖象，隨著函式自變數
的增大(減小)，你能得到什麼資訊?
二、歸納探索，形成概念
我們在學習函式概念時，瞭解了函式的定義域及值域，本節內容其實就是針對自變數與函式值之間的變化關係進行的專題研究之一──函式單調性的研究。
同學們在初中已經對函式隨著自變數取值的變化函式值相應的變化情況有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務就是透過形象的函式圖象變化情況，為函式單調性建立嚴格定義。
1.藉助圖象，直觀感知
首先，我們來研究一次函式
和二次函式
的單調性。
師：在沒有學習函式單調性的嚴格定義之前，函式的單調性可以理解為，
師：根據圖象，請同學們寫出你對這兩個函式單調性的描述。
生：(獨立完成，小組內互相檢查，然後閱讀教材，對比參照)。
2.抽象思維，形成概念
函式的性質離不開函式的定義域，在研究函式單調性時，我們也必須充分考慮到這一點，
在函式的定義區間上描述隨著自變數
值的變化，函式值
的變化情況。
師：思考，如何利用函式解析式
來描述函式隨著自變數
值的變化，函式值
的變化情況?(注意函式的定義區間)
生：在
上，隨著自變數
值的增大，函式值
逐漸減小;在
上，隨著自變數
值的增大，函式值
逐漸增大。
師：如果給出函式
，你能用準確的數學符號語言表述出函式單調性的定義嗎?
生：(師生共同探究，得出增函式嚴格的定義)一般地，設函式
的定義域為
：
①如果對於定義域上某個區間
上的任意兩個自變數的值
，當
時，都有
，那麼就說函式
在區間
上是增函式;
②如果對於定義域上某個區間
上的任意兩個自變數的值
，當
時，都有
，那麼就說函式
在區間
上是減函式。
三、掌握證法，適當延展
【例1】下圖是定義在區間
上的`函式
，根據圖象說出函式的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函式還是減函式?
【例2】物理學中的玻意耳定律
(
為正常數)告訴我們，對於一定量的氣體，當其體積
減小時，壓強
將增大。試用函式的單調性證明之。
師：在解決完成這個例題後，根據解題步驟歸納總結用定義證明函式單調性的一般性演算法步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。
四、歸納小結，提高認識
學生交流在本節課學習中的體會、收穫，交流學習過程中的體驗和感受，共同完成小結。
(1) 利用圖象判斷函式單調性;
(2) 利用定義判斷函式單調性;
(3) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。
五、佈置作業，拓展探究
課後探究：研究函式
的單調性。
六、板書設計
函式的單調性
一、創設情境，引入課題
二、歸納探索，形成概念
三、掌握證法，適當延展
四、歸納小結，提高認識
七、教學反思
在有限的課堂時間，使學生掌握利用數形結合的思想方法準確理解函式單調性的有關概念，加深對基本概念的認識。首先，展示一個學生都熟悉無比的情境，在這個情境中讓學生直觀地理解上升(遞增)或下降(遞減)的現象，然後針對課本所給的三個圖象，結合情境中的直觀現象，讓學生描述這三個函式圖象的特徵。學生在描述函式圖象特徵(上升或下降)的時候較為順利，但總覺得有錯誤，可又說不清理由。此時，教師指出：在敘述函式影象特徵時要按照一定的標準，即觀察的順序應沿x軸正方向，自變數從左向右變化時，函式值(影象)的變化趨勢，這樣即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。接下來，單刀直入地提出函式的單調性這個函式的性質。在直觀上承認這一性質以後，由學生按學習小組，仿照剛才的分析去研究一次函式和二次函式的單調性。繼而提出：圖象特徵如何轉化為數學語言?經過學生探究思考，教師啟發，學生歸納總結函式單調性的定義。結合影象，學生透過自主合作探索，自己給出了函式單調性的定義。然後讓學生開啟書本，與書上的表述比較，肯定他們的成果，並提示注意書本敘述的精確用語。本課學生印象深刻，理解深入，合作探究激發了學生的內驅力與自信心。