第一冊已知三角函式值求角教學設計

第一冊已知三角函式值求角教學設計

　　【教學課題】: 已知三角函式值求角

　　【教學目標】: 瞭解反三角函式的定義，掌握用反三角函式值表示給定區間上的角

　　【教學重點】: 掌握用反三角函式值表示給定區間上的角

　　【教學難點】: 反三角函式的定義

　　【教學過程】:

　　一． 問題的提出：

　　在我們的學習中常遇到知三角函式值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我們如何表示 呢？相當於 中如何用 來表示 ，這是一個反解 的過程，由此想到求反函式，第一冊已知三角函式值求角。但三角函式由於有周期性，它們不存在反函式，這就要求我們把它們的定義域縮小，並且這個區間滿足：

　　（1）包含銳角；（2）具有單調性；（3）能取得三角函式值域上的所有值。

　　顯然對 ，這樣的區間是 ；對 ，這樣的區間是 ；對 ，這樣的區間是 ；

　　二．新課的引入：

　　1．反正弦定義：

　　反正弦函式：函式 ， 的反函式叫做反正弦函式，記作： .

　　對於 注意：

　　（1） （相當於原來函式的值域）；

　　（2） （相當於原來函式的定義域）；

　　（3） ；

　　即： 相當於 內的一個角，這個角的正弦值為 。

　　反正弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數 的反正弦，記作： 。其中 ， 。

　　例如： ， ， ，

　　由此可見：書上的反正弦與反正弦函式是一致的，當然理解了反正弦函式，能使大家更加系統地掌握這部分知識。

　　２．反餘弦定義：

　　反餘弦函式：函式 ， 的.反函式叫做反餘弦函式，記作： .

　　對於 注意：

　　（1） （相當於原來函式的值域）；

　　（2） （相當於原來函式的定義域）；

　　（3） ；

　　即： 相當於 內的一個角，這個角的餘弦值為 。

　　反餘弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數 的反正弦，記作： 。其中 ， 。

　　例如： ， ，由於 ，故 為負值時， 表示的是鈍角。

　　３．反正切定義：

　　反正切函式：函式 ， 的反函式叫做反正弦函式，記作： .

　　對於 注意：

　　（1） （相當於原來函式的值域）；

　　（2） （相當於原來函式的定義域）；

　　（3） ；

　　即： 相當於 內的一個角，這個角的正切值為 。

　　反正切：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數 的反正切，記作： 。其中 ， 。

　　例如： ， ， ，

　　對於反三角函式，大家切記：它們不是三角函式的反函式，需要對定義域加以改進後才能出現反函式，高中數學教案《第一冊已知三角函式值求角》。反三角函式的性質，有興趣的同學可根據互為反函式的函式的圖象關於 對稱這一特性，得到反三角函式的性質。根據新教材的要求，這裡就不再講了。

　　練習：

　　三．課堂練習：

　　例1．請說明下列各式的含義：

　　(1) ； (2) ； (3） ； (4) 。

　　解：（1） 表示 之間的一個角，這個角的正弦值為 ，這個角是 ；

　　（2） 表示 之間的一個角，這個角的正弦值為 ，這個角不存在，即 的寫法沒有意義，與 ， 矛盾；

　　（3） 表示 之間的一個角，這個角的餘弦值為 ，這個角是 ；

　　（4） 表示 之間的一個角，這個角的正切值為 。這個角是一個銳角。

　　例2.比較大小：（1） 與 ；（2） 與 。

　　解：（1）設： ， ； ， ，

　　則 ， ，

　　∵ 在 上是增函式， ，

　　∴ ，即 。

　　（2） 中 小於零， 表示負銳角，

　　中 雖然小於零，但 表示鈍角。

　　即： 。

　　例3．已知： ， ，求： 的值。

　　解： 正弦值為 的角只有一個，即： ，

　　在 中正弦值為 的角還有一個，為鈍角，即： ，

　　所求 的集合為： 。

　　注意：如果題目沒有特別說明，結果應為準確值，而不應是近似值，書上均為近似值。

　　例4．已知： ， ，求： 的值。

　　解： 餘弦值為 的角只有一個，即： ，

　　在 中餘弦值為 的角還有一個，為第三象限角，即： ，

　　所求 的集合為： 。

　　例5．求證： （ ）。

　　證明：∵ ，∴ ，設 ， ，

　　則 ，即： ，即： ，

　　∵ ，∴ ，

　　∴ ，∴ ，即： 。

　　例6．求證： （ ）。

　　證明：∵ ，∴ ，設 ， ，

　　則 ，即： ，即： （*），

　　∵ ，∴ ，

　　∴ ，∴ ，即： 。

　　注意：（*）中不能用 來替換 ，雖然符號相同，但 ，不能用反餘弦表示 。

　　四．課後作業。

　　書上：P76.練習,P77. 習題4.11。（均要準確值，劃掉書上的精確到）

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