平面向量的數量積的物理背景及其含義教學反思

平面向量的數量積的物理背景及其含義教學反思

　　1.1 教材的地位與作用

　　本節課是在學生學習了向量的概念和向量的加法、減法、數乘向量等線性運算的基礎上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學知識和方法的延續，又是後繼學習解三角形、解析幾何以及空間向量等內容的基礎，因此本節內容具有承上啟下的重要作用.1.2 學情分析

　　（1）學生已經學習了任意角的三角函式、向量的概念和線性運算等知識.

　　（2）學生對向量的物理背景有了一定的瞭解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關知識.

　　（3）學生已經具備了一定的數學建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數學概念.

　　2 教學目標分析

　　依據課程標準和以上分析，制定本節課的三維目標如下：

　　知識與技能目標

　　透過物理中“功”的例項，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數量積的性質.

　　過程與方法目標

　　經歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養學生歸納概括，類比遷移的能力；經歷透過不同的方式探究、發現平面向量數量積性質的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數形結合的數學思想方法.

　　情感、態度、價值觀目標

　　透過師生互動，生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會各學科之間的密切聯絡，感受知識的形成過程，提高數學學習的興趣，形成獨立自主的鑽研精神和合作交流的科學態度.

　　3 重點、難點分析

　　根據教學目標以及學情分析，確定本節課的教學重點、難點.

　　重點：平面向量數量積的概念和性質.

　　難點：向量在軸上的`正射影的概念的理解和平面向量數量積的性質的發現.

　　在教學中，注意遵循學生的認知規律.從學生感興趣的物理例項入手，透過層層分析， 形成數量積的概念，並經歷概念辨析、深化理解、學以致用等過程，來突出重點.透過練習和探究問題的設計，將五個性質分散開來，透過課件動畫、問題引領、自主探究、合作交流等手段，從理性認識到實踐練習，再到應用，使性質自然呈現，既突出了重點，又突破了難點.

　　4 教學策略分析

　　基於數量積的知識特點及學生的認知規律，採用啟發式和問題探究相結合的教學方法.著名數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”.因此，指導學生採用發現式學習法.在課堂上堅持以教師為主導，學生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時，為了有效實現教學目標，採用多媒體和自編學案輔助教學.

　　5 教學過程分析

　　本節課的教學流程如下：

　　具體分析如下：

　　5.1 創設情境 展示背景

　　教師錄影展示“大力士拉車”的情境例項，提出物理問題.

　　問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

　　設計意圖 從學生已有的認知水平出發，透過熟悉的生活例項，創設數量積的物理背景，激發學生的學習熱情.

　　5.2 分析背景 形成概念

　　該環節，依據本套教材的特點，以物理背景作為總的抓手，透過抽象、概括、歸納，形成了兩個向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數量積定義三個概念.

　　第一步：背景的初次分析

　　問題2 決定功的大小的量有哪幾個？它們是標量還是向量？當力和位移的大小一定時，功的大小取決於那個量？

　　問題3 這個夾角抽象到我們數學中，就是今天我們要學習的兩個向量的夾角，把力F、位移s換作數學中任意兩個非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

　　設計意圖 透過力做功的幾個因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個向量夾角的概念.

　　1.兩個向量的夾角

　　已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.

　　問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什麼角？

　　設計意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學生直觀感知夾角的範圍，幫助學生理解夾角範圍規定的合理性.

　　規定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.

　　特別的：當〈a，b〉=π2時，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

　　兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.

　　問題5 請回顧：0的方向是怎樣規定的？

　　規定：0與任意向量垂直.

　　前面曾規定：0與任意向量平行.

　　設計意圖 概念呈現後，注意與前面所學知識進行對比，便於學生理解，記憶.圖1

　　練習： 如圖1，正△ABC中，求

　　（1）AC與AB的夾角；

　　（2）AB與BC的夾角.

　　注：確定兩向量的夾角的關鍵是：透過平移使兩向量共起點.

　　設計意圖 及時鞏固所學概念，強調確定兩向量夾角的一般方法.

　　第二步：背景的再次分析

　　問題6 真正使汽車前進的力是什麼？它的大小是多少？

　　設計意圖 讓學生藉助已有的認知經驗，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數量的概念.從特殊到一般，符合學生的認知規律，突破難點.

　　2.向量在軸上的正射影

　　已知向量a和軸l，作OA=a，過點O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.

　　向量在軸上的正射影的數量

　　該射影在軸l上的座標， 稱作a在軸l上的數量或在軸l的方向上的數量. OA=a在軸l上正射影的座標記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.

　　問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數量有什麼區別？

　　問題8 向量在軸上的正射影的數量一定是正實數嗎？

　　注： a在軸l上的正射影的數量是個實數，可正、可負、可為零.

　　向量a在b方向上的正射影及數量

　　如果向量b在軸l上且與軸同向，那麼，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數量是acos.

　　設計意圖 讓學生理解正射影及其數量的含義，並引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數量，為數量積的概念的學習做準備