高中數學3.1.2 兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式教案新人教A版必修4高二

　　作為一位兢兢業業的人民教師，就不得不需要編寫教案，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。我們該怎麼去寫教案呢？下面是小編為大家收集的高中數學3.1.2 兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式教案新人教A版必修4高二，供大家參考借鑑，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　整體設計

　　教學分析

　　1.兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式是在研究了兩角差的餘弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差”關係的正弦、餘弦、正切公式的在這些公式的推導中，教科書都把對照、比較有關的三角函式式，認清其區別，尋找其聯絡和聯絡的途徑作為思維的起點，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的餘弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內在聯絡，即α+β=α-(-β)的關係，從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函式名稱不同，這就要求進行函式名的互化，利用誘導公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.

　　2.透過對“兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函式與這兩角的三角函式的運算規律，還使學生加深了數學公式的推導、證明方法的理解.因此本節內容也是培養學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養學生的探索精神和創新能力，發現問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.

　　3.本節的幾個公式是相互聯絡的，其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯絡，讓學生深刻領會它們的這種聯絡，從而加深對公式的理解和記憶.本節幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確要求，再思考應該聯絡什麼公式，使用公式時要具備什麼條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最後結果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養學生三角恆等變換能力所不能忽視的

　　三維目標

　　1.在學習兩角差的餘弦公式的基礎上，透過讓學生探索、發現並推導兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式,瞭解它們之間的內在聯絡，並透過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養學生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.

　　2.透過兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恆等證明，使學生深刻體會聯絡變化的觀點，自覺地利用聯絡變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題解決問題的能力.

　　3.透過本節學習，使學生掌握尋找數學規律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養學生的應用意識，提高學生的數學素質.

　　重點難點

　　教學重點：兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式及其推導.

　　教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明.

　　課時安排

　　2課時

　　教學過程

　　第1課時

　　匯入新課

　　思路1.(舊知匯入)教師先讓學生回顧上節課所推導的兩角差的餘弦公式，並把公式默寫在黑板上或打出幻燈片,注意有意識地讓學生寫整齊.然後教師引導學生觀察cos(α-β)與cos(α+β)、sin(α-β)的內在聯絡，進行由舊知推出新知的`轉化過程，從而推匯出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本節課我們共同研究公式的推導及其應用.

　　思路2.(問題匯入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既可以複習回顧上節所學公式，又為本節新課作準備.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法轉化為公式C（α-β）的形式來求，此時思路受阻,從而引出新課題，並由此展開聯想探究其他公式.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　①還記得兩角差的餘弦公式嗎？請一位同學到黑板上默寫出來.

　　②在公式C(α-β)中，角β是任意角，請學生思考角α-β中β換成角-β是否可以？此時觀察角α+β與α-(-β)之間的聯絡，如何利用公式C(α-β)來推導cos(α+β)=?

　　③分析觀察C(α+β)的結構有何特徵？

　　④在公式C(α-β)、C(α+β)的基礎上能否推導sin(α+β)=?sin(α-β)=?

　　⑤公式S(α-β)、S(α+β)的結構特徵如何？

　　⑥對比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推匯出tan(α-β)=?

　　tan（α+β）=？

　　⑦分析觀察公式T(α-β)、T(α+β)的結構特徵如何？

　　⑧思考如何靈活運用公式解題？

　　活動：對問題①，學生默寫完後，教師打出課件，然後引導學生觀察兩角差的餘弦公式，點撥學生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什麼樣的奇妙想法呢？鼓勵學生大膽猜想，引導學生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的內在聯絡，學生有的會發現α-β中的角β可以變為角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的會根據加減運算關係直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時教師適時引導學生轉移到公式C(α-β)上來,這樣就很自然地得到

　　cos(α+β)=cos［α-(-β)］

　　=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)

　　=cosαcosβ-sinαsinβ.

　　所以有如下公式：

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　我們稱以上等式為兩角和的餘弦公式，記作C(α+β).

　　對問題②，教師引導學生細心觀察公式C(α+β)的結構特徵,可知“兩角和的餘弦，等於這兩角的餘弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學生對比公式C(α-β)進行記憶，並填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.

　　對問題③，上面學生推得了兩角和與差的餘弦公式，教師引導學生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什麼公式來實現正、餘弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式⑸⑹來化餘弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關係式sin2α+cos2α=1來互化，此法讓學生課下進行),因此有

　　sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］

　　=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ

　　=sinαcosβ+cosαsinβ.

　　在上述公式中,β用-β代之，則

　　sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

　　=sinαcosβ-cosαsinβ.

　　因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(α+β)、S(α-β).

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

　　對問題④⑤，教師恰時恰點地引導學生觀察公式的結構特徵並結合推導過程進行記憶，同時進一步體會本節公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美.為強化記憶，教師可讓學生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=__________.

　　對問題⑥，教師引導學生思考，在我們推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)後,自然想到兩角和與差的正切公式，怎麼樣來推匯出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？學生很容易想到利用同角三角函式關係式，化弦為切得到.在學生探究推導時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學生自己悟出來.

　　當cos(α+β)≠0時，tan(α+β)=

　　如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時,分子、分母同除以cosαcosβ得

　　tan(α+β)=，據角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有

　　tan(α-β)=

　　由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(α-β)、T(α+β).

　　tan(α+β)=

　　tan(α-β)=

　　對問題⑥,讓學生自己聯想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學生回顧自己的公式探究過程可知，α、β、α±β都不能等於+kπ(k∈Z)，並引導學生分析公式結構特徵，加深公式記憶.

　　對問題⑦⑧，教師與學生一起歸類總結，我們把前面六個公式分類比較可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.並由學生歸納總結以上六個公式的推導過程，從而得出以下邏輯聯絡圖.可讓學生自己畫出這六個框圖.透過邏輯聯絡圖，深刻理解它們之間的內在聯絡，藉以理解並靈活運用這些公式.同時教師應提醒學生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式

　　tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化簡求值中就經常應用到，使解題過程大大簡化，也體現了數學的簡潔美.對於兩角和與差的正切公式，當tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在時，不能使用T（α±β）處理某些有關問題，但可改用誘導公式或其他方法，例如：化簡tan(-β)，因為tan的值不存在，所以改用誘導公式tan(-β)=來處理等.

　　應用示例

　　思路1

　　例1已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.

　　活動：教師引導學生分析題目中角的關係，在面對問題時要注意認真分析條件，明確要求.再思考應該聯絡什麼公式，使用公式時要有什麼準備，準備工作怎麼進行等.例如本題中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本題是直接應用公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉公式的應用，教師可以完全讓學生自己獨立完成.

　　解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.

　　∴tanα==.

　　於是有sin(-α)=sincosα-cossinα=

　　cos(+α)=coscosα-sinsinα=

　　tan(α-)===.

　　點評：本例是運用和差角公式的基礎題，安排這個例題的目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養他們良好的思維習慣.

　　變式訓練

　　1.不查表求cos75°,tan105°的值.

　　解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°

　　tan105°=tan(60°+45°)==-(2+).

　　2.設α∈(0,),若sinα=,則2sin(α+)等於( )

　　A. B. C. D.4

　　答案：A

　　例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,).

　　求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).

　　活動：教師可先讓學生自己探究解決，對探究困難的學生教師給以適當的點撥，指導學生認真分析題目中已知條件和所求值的內在聯絡.根據公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)應先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然後利用公式求值，但要注意解題中三角函式值的符號.

　　解：由sinα=,α∈(,π),得

　　cosα==-=，∴tanα=.

　　又由cosβ=,β∈(π,).

　　sinβ==,

　　∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　=×()-(.

　　∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()

　　∴tan(α+β)==.

　　點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎題，其目的還是讓學生熟練掌握公式的應用，訓練學生的運算能力.

　　變式訓練

　　引導學生看章頭圖，利用本節所學公式解答課本章頭題，加強學生的應用意識.

　　解：設電視發射塔高CD=x米，∠CAB=α，則sinα=，

　　在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.

　　於是x=,

　　又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.

　　tan(45°+α)==3,

　　∴x=-30=150(米).

　　答：這座電視發射塔的高度約為150米.

　　例3在△ABC中，sinA=(0° 活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這裡用到的僅是與三角函式誘導公式與和差公式有關的問題，難度不大，但應是學生必須熟練掌握的同時也能加強學生的應用意識，提高學生分析問題和解決問題的能力.教師可讓學生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學生教師引導學生分析題意和找清三角形各角之間的內在聯絡，從而找出解決問題的路子.教師要提醒學生注意角的範圍這一暗含條件.

　　解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).

　　又∵sinA=且0°又∵cosB=且45°

　　∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

　　=×+×=,

　　cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

　　=×-×=.

　　點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養了學生的應用意識，也使學生更加認識了公式的作用,解決三角形問題時,要注意三角形內角和等於180°這一暗含條件.

　　變式訓練

　　在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,則△ABC是( )

　　A.銳角三角形 B.鈍角三角形

　　C.直角三角形 D.等腰非直角三角形

　　答案：C

　　思路2

　　例1若sin(+α)=,cos(-β)=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.

　　活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經典例題，對訓練學生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值.儘管學生思考時有點難度，但教師仍可放手讓學生探究討論，教師不可直接給出解答.對於探究不出的學生，教師可恰當點撥引導，指導學生解決問題的關鍵是尋找所求角與已知角的內在聯絡，引導學生理清所求的角與已知角的關係，觀察選擇應該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學生注意：在求有關角的三角函式值時，要特別注意確定準角的範圍，準確判斷好三角函式符號，這是解決這類問題的關鍵.學生完全理清思路後，教師應指導學生的規範書寫，並熟練掌握它.對於程度比較好的學生可讓其擴充套件本題，或變化條件，或變換所求的結論等.如教師可變換α,β角的範圍，進行一題多變訓練，提高學生靈活應用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓練價值.

　　解：∵0<α<<β<,∴<+α<π,-<-β<0,

　　又已知sin(+α)=,cos(-β)=,

　　∴cos(+α)=,sin(-β)=.

　　∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+α)-(-β)］

　　=sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β)

　　=×-()×()=.

　　本題是典型的變角問題,即把所求角利用已知角來表示,實際上就是化歸思想.這需要巧妙地引導,充分讓學生自己動手進行角的變換,培養學生靈活運用公式的能力.

　　變式訓練

　　已知α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,

　　求cos(α+)的值.

　　解：∵α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,

　　∴<α+β<2π,<β-<.

　　∴cos(α+β)=,cos(β-)=.

　　∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］

　　=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)

　　=×()+()×=.

　　例2化簡

　　活動：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函式的形式，教師可以先讓學生自己獨立地探究，然後進行講評.

　　解：原式=

　　=0.

　　點評：本題是一個很好的運用公式進行化簡的例子，透過學生獨立解答，培養學生熟練運用公式的運算能力.

　　變式訓練

　　化簡

　　解：原式=

　　知能訓練

　　課本本節練習1—4.

　　1.(1),(2),(3),(4)2-.

　　2..

　　4.-2.

　　作業

　　已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.

　　解：∵<α<,∴<-α<0.∴sin(-α)==.

　　又∵0<β<,∴<+β<π,cos(+β)==.

　　∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］

　　=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)

　　=-()××()=.

　　課堂小結

　　1.先由學生回顧本節課都學到了哪些數學知識和數學方法，有哪些收穫與提高，在公式推導中你悟出了什麼樣的數學思想？對於這六個公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有什麼條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函式式的化簡、求值與恆等式證明.

　　2.教師畫龍點睛：我們本節課要理解並掌握兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式及其推導，明白從已知推得未知，理解數學中重要的數學思想——轉化思想,並要正確熟練地運用公式解題.在解題時要注意分析三角函式名稱、角的關係，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到最佳化解題過程，規範解題步驟，領悟變換思路，強化數學思想方法之目的

　　設計感想

　　1.本節課是典型的公式教學模式，是在兩角差的餘弦公式的基礎上進行的，因此本教案的設計流程是“提出問題→轉化推導→分析記憶→應用訓練”.它充分展示了公式教學中以學生為主體，進行主動探索數學知識發生、發展的過程.同時充分發揮教師的主導作用，引導學生利用舊知識推導證明新知識，並學會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題,從而使學生領會了數學中重要的數學思想——轉化思想，並培養他們主動利用轉化思想指導探索解決數學問題的能力.

　　2.縱觀本教案的設計，知識點集中，容量較大，重點是公式的推導證明、記憶以及簡單的應用等，透過本節的學習，使學生深刻理解公式的推導、證明方法，熟練應用公式解決簡單的問題.同時教給學生髮現規律、探索推導、獲取新知的方法，讓他們真正體驗到自己發現探索數學知識的喜悅和成功感.

　　第2課時

　　匯入新課

　　思路1.(複習匯入)讓學生回憶上節課所學的六個公式，並回憶公式的來龍去脈，然後讓一個學生把公式默寫在黑板上或打出幻燈.教師引導學生回顧比較各公式的結構特徵，說出它們的區別和聯絡，以及公式的正用、逆用及變形用，以利於對公式的深刻理解.這節課我們將進一步探究兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式的靈活應用.

　　思路2.(問題匯入)教師可打出幻燈，出示一組練習題讓學生先根據上節課所學的公式進行解答.

　　1.化簡下列各式

　　(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;

　　(2);

　　2.證明下列各式

　　(2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β;

　　答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.

　　2.證明略.

　　教師根據學生的解答情況進行一一點撥，並對上節課所學的六個公式進行回顧複習，由此展開新課.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　①請同學們回憶這一段時間我們一起所學的和、差角公式.

　　②請同學們回顧兩角和與差公式的區別與聯絡，可從推導體系中思考.

　　活動：待學生稍做回顧後，教師打出幻燈，出示和與差角公式，讓學生進一步在直觀上發現它們內在的區別與聯絡，理解公式的推導充分發揮了向量的工具作用，更要體會由特殊到一般的數學思想方法.教師引導學生觀察，當α、β中有一個角為90°時，公式就變成誘導公式，所以前面所學的誘導公式其實是兩角和與差公式的特例.在應用公式時，還要注意角的相對性，如α=(α+β)-β,等.讓學生在整個的數學體系中學會數學知識，學會數學方法，更重要的是學會發現問題的方法，以及善於發現規律及其內在聯絡的良好習慣，提高數學素養.

　　sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;

　　cos（α±β）＝cosαcosβ簊inαsinβ〔C（α±β）〕;

　　tan（α±β）＝〔T（α±β）〕.

　　討論結果：略.

　　應用示例

　　思路1

　　例1利用和差角公式計算下列各式的值.

　　（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;

　　（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;