角的平分線

角的平分線

　　知識結構

　　重點與難點分析：

　　本節內容的重點是角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。性質定理和它的逆定理為證線段相等、角相等，開闢了新的途徑，簡化了證明過程。

　　本節內容的難點是：a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。學生對證明兩個三角形全等的問題已經很熟悉了，所以證題時，不習慣直接應用定理，仍然去找全等三角形，結果相當於重新證明了一次定理。對於原命題和逆命題，學生對條件和結論容易混淆，特別是沒有明顯的提示語言時，更易找不準條件和結論，這就成了教學的難點。

　　教法建議：

　　整堂課圍繞“以複習為基礎，以過程為主線，以思維為中心，以訓練為手段”開展教學。注重學生的參與度，透過提問、板演、討論等多種形式，讓學生直接參加課堂活動，將教與學融為一體。具體說明如下：

　　（1）做好鋪墊

　　新課引入前，作一個具體畫圖的練習：已知角畫出它的角平分線；然後在平分線上任取一點，作出這一點到角兩邊的距離。這樣做一是複習了角平分線的定義和點到直線距離的定義；二是為本節課的學習奠定了圖形基礎。

　　（2）主動獲取

　　利用上面的圖形，觀察這兩個距離的關係，並證明自己的結論。對基礎條件比較好的同學會很容易得出結論並能用文字敘述出來。對基礎稍差一些的同學生得出結論並不難但讓他們用文字敘述出來可能不是很準確，此時教師要做指導。這一環節的教學注意讓學生透過觀察、分析、推理等活動，主動提出此定理。

　　（3）激盪思維

　　在上面定理的基礎上，讓學找出此定理的條件與結論，並交換條件與結論得到一個新的命題，然後驗證此命題的正確性如何?學生透過推理證明不難得到是一個真命題。此時順理成章地引出教材中的定理2。最後注意強調：兩個定理的區別與聯絡；原命題與逆命題、原定理與逆定理的關係及寫出一個命題的逆命題的方法步驟。這一環節完全是由學生給出定理的文字表述及證明過程。

　　（4）推向深入

　　進行必要的例題講解，然後進行有層次階梯性訓練，以達到熟練地運用定理證明有關問題。教學時，要注意引導學生分析問題解決問題的思考方法。同時讓學生總結積累證明線段相等、角相等的常見方法。

　　教學目標：

　　1、知識目標：

　　（1）掌握角平分線的性質定理和逆定理；

　　（2）能夠運用性質定理和逆定理證明兩個角相等或兩條線段相等；

　　（3）能夠判定兩個命題是否為互逆命題，並能寫出一個命題的逆命題.

　　2、能力目標：

　　（1）透過“判斷題”的練習，提高學生的辨析能力；

　　（2）透過公理的初步應用，培養學生的邏輯推理能力及創新的能力.

　　3、情感目標：

　　（1）透過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；

　　（2）透過知識的縱橫遷移感受數學的辯證特徵。

　　教學重點：

　　角平分線的性質定理，逆定理及它們的應用。

　　教學難點：

　　a、角平分線定理和逆定理的應用；b、這兩個定理的區別；c、寫命題的逆命題。

　　教學用具：直尺，微機

　　教學方法：談話法

　　教學過程：

　　1、新課引入

　　投影顯示

　　問題：（1）畫一個；

　　（2）在這條平分線上任取一點P，標出P點到角兩邊的距離。

　　（3）說出這兩段距離的關係並證明。

　　2、定理的獲得

　　讓學生用文字語言敘述出定理的內容

　　角平分線的性質定理：在角平分線上的點到這個角兩邊距離相等。

　　強調說明：

　　（1）、定理的條件及結論的符號表示；

　　（2）、定理的作用：直接證明兩線段相等。使用的`前提是有，關鍵是圖中是否有“垂直”。

　　3、運用逆向思維，匯出定理的逆定理

　　問題：將定理的條件與結論“換位”得到一個新命題，說出這個新命題的內容，並判斷命題是真命題還是假命題？學生分析、討論用文字敘述內容，老師作必要的提示。

　　逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個上。

　　強調：a逆定理的作用：證明角相等

　　b、二定理的區別與聯絡：性質定理說明了角平分線上點的純粹性，即：只要是角平分線上的點，它到此角兩邊一定等距離，而無一例外；判定定理反映了角平分線的完備性，即只要是到角兩邊距離相等的點，都一定在角平分線上，而絕不會漏掉一個。實際應用中，前者用來證明線段相等，後者用來證明角相等（角平分線）

　　4、原命題與逆命題

　　a、概念

　　b、寫出互逆命題的關鍵。

　　c、原使命與逆使命的真假性並無一定的依存關係。

　　5、定理的應用(投影四個例題)

　　例1、已知：如圖1，△ABC的角平分線BM、CN相交於點P.

　　求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

　　學生先分析，教師巡視並適當點撥。

　　投影顯示學生的證明過程，師生共同糾正補充完善。

　　投影規範的書寫格式:

　　（見書中例題）

　　此題設想：（1）語言要規範。例“過點P作PD、PE、PF分別垂直於AB、BC、CA，垂足為D、E、F”這一段話一定要在證明中寫出。

　　（2）幾何證明中，常見“同理”二字，講清“同理”適用的條件以免以後亂用。

　　例2、已知：如圖2，PB、PC分別是△ABC的外角平分線，相交於點P.

　　求證：P在∠A的平分線上

　　證明：（略）

　　設想：（1）證明“點在線上”這類問題的解決方法

　　（2）“一般解題方法”的運用

　　（3）投影顯示學生的書寫步驟，檢查學生數學語言是否規範。

　　例3、寫出下列命題的逆命題，並判斷它們是真命題還是假命題

　　（1）全等三角形的對應角相等；

　　（2）對頂角相等；

　　（3）如果，那麼；

　　（4）直角三角形的兩個銳角互餘.

　　例4、已知：如圖3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點

　　求證：∠BDP＝∠CDP

　　證明：（略）

　　設想：一般解題方法的教學。

　　6、課堂小結：教師引導學生總結

　　(1)角平分線的性質定理及逆定理；

　　(2)二定理的關係；

　　(3)一般解題方法

　　讓學生自由表述，其它學生補充，自己將知識系統化，以自己的方式進行建構。

　　5、佈置作業：

　　(a)書面作業P80＃9

　　(b)思考題：

　　(1)已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求證：∠A+∠C＝

　　（2）求證三角形的三條內角平分線交於一點。

　　板書設計：

　　探究活動

　　如圖，公路南有一學校在鐵路的東側，到公路的距離與到鐵路的距離相等，並且與兩路交叉處O的距離為400米，在圖上標出學校的位置，並說明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解決這類問題的方法是把實際應用問題轉化為數學問題，然後用數學知識解決。

　　解：把公路、鐵路看作兩條相交直線，畫出它們交，在上，從頂點量出表示實際400米長的線段便可確定學校的位置。表示實際400米長的線段為：0.04米＝4cm