狄利克雷函式為什麼是週期函式

　　證明過程：

　　狄利克雷函式即f(x)=1(當x為有理數）；f(x)=0(當x為無理數）；而週期函式的定義是對任意x，若f(x)=f(x+T)，則f(x)是週期為T的週期函式。

　　顯然，取T為任意一個確定的有理數，則當x是有理數時f(x)=1，且x+T是有理數，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；當x是無理數時，f(x)=0，且x+T是無理數，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。綜上，狄利克雷函式是週期函式，其週期可以是任意個有理數，所以沒有最小正週期。