淺析小學教育專業初等數論課程例題和練習題論文
淺析小學教育專業初等數論課程例題和練習題論文
1小學教育專業開設初等數論課程的必要性
初等數論是一門古老的數學基礎學科，主要研究整數的基本性質，它的理論和方法已廣泛用於現代密碼學、運算元理論、最優設計、組合代數及資訊科學等諸多領域.師範院校小學教育專業開設的初等數論課程作為一門專業主幹課程，主要研究整數的整除與同餘及不定方程，其中的許多內容如整除、約數、倍數、分解質因數等概念和性質都是現行小學數學的主要內容，對小學數學的教學和研究具有重要的指導作用，而小學教育專業的數學類課程設定的目標是為了培養合格的小學數學教師，所以小學教育專業開設初等數論課程很有必要。
由於初等數論要求論證嚴格，所以它是進行思維訓練的有效工具，學習初等數論能發展學生的邏輯數學思維能力。
數論的許多問題本身很容易弄懂，容易引起人們的興趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解決卻非常困難。古今中外許多數學家都是由於被數論問題吸引而投身數學研究，並做出了巨大的貢獻，在初等數論課程中有許多簡明而又具創造性的問題，它們都是培養學生創造性的很好材料，所以學習初等數論能激發學生對數學的興趣和創造力。
2小學教育專業初等數論課程例題和練習題的重要性
例題和練習題是初等數論教材的重要組成部分，例題是實現課程目標、實施教學的重要資源，具有示範引領、揭示方法、介紹新知、鞏固新知、思維訓練等功能，而練習題則是將所學的知識進行應用的一個載體，也是教師檢查學生學習狀況的一個手段，所以初等數論課程的例題和練習題的選擇很重要.當前高等院校數學系所開設的初等數論課程所用的教材雖然由於使用的時間長教材所配置的例題和練習題大部分比較合適，但也存在例題和練習題都偏少且練習題難度偏大和基礎性的題目所佔比例太小等問題[}z}，更何況小學教育專業是最近幾年開設的新專業，所用的教材也是近幾年編的，大部分的教材在教材內容的選取上比較適合小學教育專業，但例題和練習題的配置大部分是照搬數學系所用的題目，或者是為了應用某個定理而生造一些例題和練習題，因而很多例題和練習題不適合小學教育專業，尤其是與小學數學教學沒有多少聯絡。
初等數論課程的特點是“定理本身易懂，但其證明難懂”，“例題難懂，練習題難做”.多年的教學實踐表明，小學教育專業的學生學習初等數論的困難，不僅在學習有關知識，而且也在運用這些知識去解決問題，也就是練習題難做，所以例題和練習題的配置是小學教育初等數論教材改革中需要認真研究的一個重要方面。
3關於小學教育專業初等數論課程例題和練習題的思考
3. 1將例題和練習題分層配置以滿足不同層次的學生學習的需要
伴隨高校的'擴招，加上小學教育又是文理兼招，所以學生的數學基礎參差不齊，因此教師在教學時很難把握教學的難度，所以將例題和練習題進行分層很有必要，以滿足不同層次的學生學習的需要.將例題和練習題分層能充分發揮學生的主體作用，尊重學生的個體差異，最大限度的調動學生的積極性和主動性。
將例題和練習題按難度分為三個層次：簡單、基本和複雜.對簡單的例題可略講或不講讓學生自學，略講時可適當加深;基本的例題可花大力氣去講;而複雜的例題可只講思路或略講，讓學有餘力的學生去理解.要佈置少量的簡單的練習題，多佈置基本的練習題，而複雜的練習題可讓學生選做。
以整除的概念這一節為例，整除的概念是初等數論的一個核心概念，對整除概念的理解是學習初等數論的基礎。像判斷具體的數字能否被3,9,11等數整除就屬於簡單的例題和練習題，因為整除的特徵是充要條件，所以判斷的方法可多次使用;而證明整除的性質就是基本的例題和練習題;而象當n為大於1的整數，證明 不為整數就是複雜的題目了，可只講思路或略講，供學有餘力的學生學習。
3. 2例題和練習題的選擇必須與專業相符
小學教育專業的特點之一是為了培養合格的小學師資，為了適應小學數學教育的需要，初等數論課程的例題和練習題的選擇還必須與專業相符，為學生以後走上工作崗位打下良好的基礎.與小學數學密切相關的內容如整除、同餘等必須詳細講解，對其中的定義、定理產生的背景及基本思想、解決問題的典型方法和技巧都要多講多練，使學生深入瞭解定義產生的客觀需要、定理論證的整個過程，從而對小學數學知識做到融會貫通;而與小學數學關係不密切的內容可略講或讓學生閱讀，尤其是複雜的理論證明如關於簡化剩餘系的證明，就不必要求太高，否則會使學生望而生畏。如講了被2,3,5,7,9,11,13,19等數整除的特徵，但沒有講被6,13, 17等數整除的特徵，可補充相應的例題和練習題，或者讓學生閱讀相關的書籍。
再例如求約數與約數的個數也是小學數學的教學內容，顯然除了在小學是用乘法和數的方法之外，還應讓學生掌握從此數的標準分解式來求的方法。
3. 3讓學生收集、改編和自編例題和練習題
小學數學隨著時代的發展也出現了一些與時俱進的內容，而由於時間和篇幅的限制，初等數論教材上的例題和練習題不僅數量有限，而且有一定的滯後性，因此可以鼓勵學生透過各種渠道收集各種例題和練習題.例如可以從中小學數學競賽中收集與初等數論相關的題目，也可以從網際網路上去收集一些趣味性強且時代性強又與初等數論密切相關的目，當然也可以從初等數論的其他教材和習題集及相關書籍中收集，例如就有許多趣味性強的題目;也可以將一些題目進行改編;當然也可以根據所學的知識自編題目。收集、改編和自編例題和練習題不僅能提高學生的學習興趣，而且能使學生在收集、改編和自編的過程中加強對知識的理解從而提高對知識的運用能力。
生活中有許多類似童謠的趣味性強且與初等數論有關的題目，例如：三十六頭羊，分成九行，只許成單，不許成雙，怎樣安排?再例如身份證的使用在現代社會越來越頻繁，第二代18位身份證的最後一位是檢驗碼，很多人不知道，其實它和整除的帶餘除法有關一百盞燈分別標上號碼1,2,3…100，開始它們都是滅的，第一個人把每盞燈的拉線開關各拉一下，使得每盞燈都亮了，第二個人把標號為2的倍數的燈的開關拉一下，第三個人把標號為3的倍數的燈的開關拉一下，以此類推，直至當第一百個人把標號為100的倍數的燈的開關拉一下.問最後有哪幾盞燈亮著?這個題目很有趣味，也可將它改編為：一百盞燈分別標上號碼1,2,3 , …,100，開始它們都是滅的，第一個人把標號為1的約數的燈的拉線開關拉一下，第二個人把標號為2的約數的燈的拉線開關拉一下，第三個人把標號為3的約數的燈的拉線開關拉一下，以此類推，直至當第一百個人把標號為100的約數的燈的開關拉一下.問最後有哪幾盞燈亮著?而在學了最小公倍數後就可讓學生自編如被2,3,6,8,9整除的最小的四位數是多少?
3. 4在例題和練習題中提倡一題多解
隨著高校教學改革的發展，初等數論的課時越來越少，以懷化學院為例：2001級初等教育專業(當時教育部還沒有開設小學教育專業)周課時3節，每學期18周，開課二個學期共108節課，2005級小學教育專業周課時4節，每學期17周，開課一個學期共68節課，2013級小學教育專業周課時3節，每學期16周，開課一學期共48節課.課時少就必須高效利用例題，而一題多解可讓學生從不同角度思考問題，不僅可得出不同的解法，也有效地訓練了學生運用知識解決問題的能力，尤其是一題多解中的每一種解法都有代表性的例題必須精講。
4結語
初等數論教材的改革是教學改革的一個重要方面，一本優秀的教材如第一版序中所說:“作為一個好的校本，我認為要具有三個條件.第一是教材要選擇得恰當，安排得自然.第二是說理要嚴格而清楚，深入而淺出，也就是邏輯性與直觀性都要強.第三是要引人入勝，使人有‘欲窮千里目，更上一層樓’之感，換句話說，問題的來源與發展都要交代清楚，使讀者能從少許見多許，增加他們目前學習與今後鑽研的興趣.”其中第一點就是教材的內容要選擇恰當，不同專業的學生選擇的教材內容應符合相應的專業培養目標，而本文只僅僅提出了一些關於選擇例題和練習題的看法，其實小學教育專業初等數論教材還可以在內容上進行改革，例如增加數學史知識和一些中小學數學競賽知識有關的內容，而且教材改革還必須有相應的教學改革，才能達到良好的效果。