塔斯基對於“真理”的定義及其意義論文
塔斯基對於“真理”的定義及其意義論文
波蘭數學家、邏輯學家塔斯基（AlfredTarski,1902—）1933年在《形式化語言中的真理概念》一文中提出了一個對於“真理”（Truth）的語義學定義。它深刻地影響了當時的邏輯經驗主義和後來的分析哲學的意義理論，並且導致理論語義學的正式建立。本文試圖簡單地評介建立這個定義的前因、方式及其後果。
一．為何要從語義角度定義“真理”
一般說來，語義學（semantics）是研究語言的表示式與這些表示式所涉及的物件（或事態）之的關係的學科。典型的語義概念是“指稱”、“滿足”、“定義”等等。“真理”這個概念的涵義是極其豐富而且多層次的，歷史上對於它的討論和定義無論從學科角度還是從思想流派的角度看，都是很多樣的。但是，如果把它放到語言學系統中來討論，那麼將它作為一個語義學的概念，即作為某些語言表示式（比如陳述句）與其所談及的物件之間的關係來處理，確實不失為一種簡便自然而且容易精確化的討論方法。
然而，語義概念在學術史上的地位一直是不明確的或者說是很奇特的。一方面，這些概念深植於人們的語言活動中，要完整地表達思想尤其是有關認識論、方法論的觀點，它們是必不可少的；另一方面，幾乎所有要以普遍的和充分的方式來刻劃它們的意義的努力都失敗了。更糟糕的是，包含這些語義概念的論證，不管它們在別的情況下顯得如何正確，卻可能導致反論或悖論，比如說謊者悖論，因而使得許多人，包括早期邏輯經驗主義的代表人物對它們極不信任，認為要前後一致地使用和定義它們是不可能的，在嚴格的科學中應該禁用這類概念。
羅素1902年發現的關於集合的悖論不但導致了所謂數學基礎的危機，而且引起了人們對於各種悖論的極大興趣。羅素的工作表明，悖論並不是表達方式上的故弄玄虛，透過發現和解決悖論，可以更深刻地認識語言和各種表達系統的邏輯基礎，甚至會促使一門新的科學或理論的建立。“應該強調指出，悖論對於建立現代演繹科學的基礎起到了傑出的作用。正如類的理論方面的悖論、特別是羅素悖論（所有非自身分子的集的集的悖論）是在邏輯和數學的不矛盾形式化方面成功嘗試的起點一樣，說謊者悖論和其他語義悖論導致了理論語義學的建立。”[i]
從另一個角度看，演繹科學本身的發展也提出了類似的要求。首先，是形式化公理方法的建立。歐幾里德的《幾何原本》可說是一個實質公理系統的例子，這一類公理系統的公理一般是表述某一類已事先給定的物件的直觀自明的性質。但是，由於非歐幾何的發現並且在歐氏幾何中找到了它的模型，也就是說使它的真理性建立在了歐氏幾何的真理性之上，使人們認識到對於空間特性的刻劃可以有形式不同但具有真值聯絡的多個表達系統。[ii]
另外，數理邏輯的建立使形式邏輯具有了某種意義上的“自身的規定性”（黑格爾常常批評舊形式邏輯缺少這種規定性）或一套自足的語法系統，邏輯推理不再僅僅是輸送外來內容和真值的毫無本身意義的空洞框架；每個語句的真值都有著本系統內的根據甚至某種判定方法，並且出現了屬於該系統本身的重要問題——一致性、完全性、公理的獨立性等等，而這些問題都與形式化語言中的真理（或真值）問題密切相關。
由於一開始對形式化公理系統的特性還認識不足，尤其是因為囿於休謨數學觀的框框，對於演繹科學真理性的回答首先是形式主義的而不是語義學的。維特根斯坦僅僅依據命題演算的某些形式特點而認為所有的邏輯規則都是重言式，[iii]其真理性在於它們是嚴格的同語反覆，窮盡了一切可能，實際上“什麼也沒有說”。[iv]這一片面看法極大地影響了早期邏輯經驗主義的代表人物，如石裡克、卡爾納普。在數學界，這種傾向也體現在希爾伯特為代表的形式主義學派中，並隨後導致了重大轉變。為了在數學領域中完全消除產生悖論的根源，希爾伯特提出了著名的“希爾伯特方案”或證明論，即要將數學公理系統相對相容性（一致性）的證明（比如證明非歐幾何相對於歐氏幾何、歐氏幾何相對於實數論、實數論相對於自然數論的相容性）變為絕對或直接相容性的證明；在這種把握“絕對”的證明活動中無法再利用任何一種還需要解釋的推演工具，因此證明論中數學或邏輯公理系統的基本概念都應是無意義可言的符號，公理是這些符號的機械組合，無所謂真假，數學相容性的證明變為不需要內容的純形式符號的推導，完全可以按一個機械的模式在有窮步內進行和完成。但是，在這個富於啟發力的方案指導下工作的哥德爾，卻發現了所有能包括形式數論在內的系統如果是相容的，則是不完全的，即總可以在它們中找到一個語義上真的句子，它和它的否定在本系統內都不可證；因此這類系統的相容性在本系統內是不可證的。而要去證明這一類系統相容性的元理論必不能比這些物件理論更簡單，而是更強更復雜也就更“靠不住”。所以在純形式的和有窮方法的前提下，數學系統絕對相容性的證明是不可能的。
塔斯基就是在這樣的背景下（與哥德爾幾乎同時）從理論語義學或邏輯語義學角度回答了演繹科學基礎研究中提出的這樣一些問題。哥德爾不完全性定理發表於1931年，塔斯基關於真理定義的主要思想於1929年已完成，並於1930年在波蘭做了學術演講。《形式化語言中的真理概念》這篇論文於1931年3月由盧卡西維茲送交華沙的科學學會，但由於外部原因使出版拖到1933年，這也使得塔斯基可以借鑑哥德爾的成果並對這篇論文做了部分補充和修改。[v]
二.怎樣定義語義的“真”
1.悖論與語言層次
從邊沁（1748-1832）起，不再將詞而是將句子作為意義的基本單位。弗雷格則認為一個句子的意義就在於它的真值條件或成真條件；正因為如此，句子和組成它的詞才有了可傳達的客觀意義，而不僅僅是洛克等人所講的帶有主觀經驗色彩的“觀念”。塔斯基為了避免心理因素的影響和表達歧義，就將他的真理定義的物件規定為語言系統中的語句，更嚴格地說，是陳述句。
他以亞里士多德的真理定義為討論起點。“我們希望我們的定義與經典的亞里士多德的真理概念所包含的直覺儘可能地相似——即在亞里士多德《形而上學》一書裡這段著名的話中所表達的直覺：‘將所是的[或所存在的]說成不是的[或不存在的]，或將所不是的說成是的，是假的；而將所是的說成是的，或所不是的說成不是的，是真的。’”[vi]根據這個定義，“雪是白的”這個語句的真值條件就是：如果雪是白的，此語句就是真的；如果雪不是白的，此語句就是假的。因而下面這個等式成立：
語句“雪是白的”是真的，當且僅當，雪是白的。
將它一般化，即得到一個（T）等式：
（T）X是真的，當且僅當，P。
在此式中，P代表“真的”這個詞所涉及的語言中的任何一個語句，X則代表這個語句的名稱。
但是，塔斯基認為亞氏的這個定義儘管在直覺上是對的，但是它的表達形式有嚴重問題。我們可以在不違反其形式的前提下構造一個類似說謊者悖論的語言：
印在本頁這一行上的這個語句是不真的。
當我們問“這句話是真還是假”時，矛盾就出現了；因為從其肯定可以得出其否定，從其否定又可得其肯定，因此它是一個悖論。
經過分析，塔斯基認為毛病出在可以構造出這類語句的語言系統上。這類語言系統不但包含了它的表示式，而且包含了這些表示式的名稱和象“真的”這樣的語義學詞項，尤其是它能夠不受限制地把這樣的語義學詞項用於其中的任何一個語句；簡言之，這樣的語言系統具有在內部斷定自己語句的真值的能力，塔斯基稱之為“語義上封閉的語言”。自然語言也屬於這種語言。
因此，為了保證語義概念在使用中的一致性，去掉產生悖論的根源，在討論真理定義或任何語義學問題時，必須禁用這類語義上封閉的語言，而用不同功能的兩種語言來代替：第一種是被談及的作為討論物件的語言，稱為物件語言，第二種是談及第一種語言的語言，稱為元語言。我們就是用元語言來為物件語言構造“真語句”的定義。元語言中不但要有物件語言的所有表示式的名稱，而且還有物件語言所沒有的語義學的詞項，所以元語言比物件語言從本質上更豐富，也可以說，元語言中包含有更高邏輯型別的變項。因而物件語言可以在元語言中得到解釋，但元語言不能在物件語言中得到解釋。塔斯基已證明，這樣一種“本質上的[更]豐富性”對於構造滿意的真理定義是一個必要而且充分的條件。[vii]元語言可以分為兩種：句法（syntax）元語言和語義元語方。只談及物件語言的語言表示式的元語言稱為句法元語言，比如一般邏輯教科書上談到某個演繹系統的語法部分（原始符號、形成規則、變形規則等等）的語言；不僅涉及物件語言的語言表示式，而且談及這些表示式所涉及的物件的元語言稱為語義元語言，比如談到某個演繹系統的語義部分（真假、可滿足、普遍有效等等）的語言。[viii]作為構造這樣兩種語言的兩個著名例子，我們可以舉出卡爾納普的《語言的邏輯句法》（1934年）和塔斯基的《形式化語言中的真理概念》（1933年）。
2.真理定義所要求滿足的條件——形式上正確、實質上充分
塔斯基認為，為了保證定義在形式上的正確，除了區分物件語言和元語言之外，還必須說明這兩種語言的結構，即將這兩種語言都形式化和公理化，保證其中每一個表示式的意義從其形式上就可以被唯一地確定。所以，塔斯基認為要在自然語言中正確地定義真理是不可能的。
對於元語言還需多做一些說明：元語言的基本詞項除了一般的邏輯詞項和與物件語言的詞項意義相同的詞項之外，還要有從形式結構上描述物件語言的所有表示式及其關係的詞項，以使我們有能力在任何情況下為物件語言的任一個表示式構造元語言的名稱。自然，元語言的公理也要相應地反映出這三類詞項的性質。此外塔斯基對於元語言還有另一個更帶有哲學含義的要求，即“（涉及物件語言的）語義學詞項只能經過定義而被引入元語言中”。[ix]“在這個構造中，我將不使用任何不能事先被歸約為其他概念的語義概念”。[x]他希望透過在元語言中構造這個定義，能夠把以前一直含混不清的“真理”或“真語句”概念“歸約為純粹的邏輯概念、被考察的語言的概念和語言形態學的特殊概念”。[xi]也就是說，歸約為任何邏輯學家和分析哲學家也都要承認的在邏輯上形式上完全站得住的那些概念，從而證明語義概念可以像那些“分析的”概念一樣毫無矛盾地使用，語義學可以成為語言形態學（themorphologyoflanguage）的一部分。
對於真理定義的另一個條件是要求它是“實質上充分的”（materiallyadequate），，即涉及某個物件語言的所有（T）等式都要作為這個定義的結果而被推衍出。[xii]在這些出現在元語言中的格式為“X是真的，當且僅當，P”的（T）等式中，“P”代表物件語言中任何一個已被翻譯到元語言中的語句，“X”則代表這個語句的名稱。
為什麼要提出這個條件呢？首先，既然這個定義要把語義概念歸約為非語義概念，那麼就必須在語義概念可能出現的一切場合都有辦法把包含這類概念的語句置換為不包含語義概念的語句，即窮盡被定義概念（如“真”、“滿足”）的一切可能的情況。其次，是為了回答演繹科學特別是證明論中提出來的“可證性”與“真理性”的關係以及“排中律”是否成立等問題。一般人的直覺很容易接受這樣一個古典排中律式的看法：任何一句話或者說一個判斷不是真的就是假的（即它的否定是真的）。且不管所謂“形而上學”，就是在數學中也有一些命題或判斷的本身被證明是無解的，而且“說謊者悖論”一類的命題對這種信念更是嚴重的威脅。於是實證主義者和有窮主義者出來說：根本不存在這類柏拉圖式的從本體論上就保證了的理念的“真”，或者更進一步，也根本不存在康德式的從認識論上被保證了的有先天綜合能力的範疇的“真”或感性直觀的純形式的“真”，而只有所謂“證實的真”或“分析的真”。這種傾向由於數學基礎中悖論的發現而得到加強並在直觀主義[xiii]學派的有窮主義中達到極點；他們認為真正的數學命題只存在於有窮構造中，因而拒絕使用涉及到“實無窮”的排中律。他們這種看法得到F.考夫曼和維特根斯坦等人的贊同，希爾伯特雖然出於保護一大批數學成果的目的反對直觀主義排斥排中律的主張，但在很大程度上也受到悖論的發現和這種從某一方面看來很合理的主張的影響，在他提出的“方案”中也要把涉及實無窮的數學系統的相容性歸約為只涉及有窮構造的數學系統的相容性。卡爾納普在《語言的邏輯句法》中所持有“演算法論”（句法論）基本上也屬於這種觀點。然而，奇怪的是哥德爾、塔斯基等人卻發現了有些形式化命題不可證或在有窮步內不可證但明明白白是個真命題。怎樣解釋這種“真”與“可證明”的複雜關係呢？哥德爾寧願做柏拉圖式的“客觀真理”的解釋，塔斯基則顯然認為對於形式化語言中的真理問題，做柏拉圖式的解釋是太寬了，做出了過多的本體論的承諾，而做有窮主義的或證明論式的解釋又過窄了，沒有把一切真命題都包括進來。他的真理定義的一個目標就是要使這個定義包括所有那些演繹科學中從形式上、邏輯語義上或用中世紀的邏輯術語，從“實質指謂”（suppositiomaterialis）上可以判定其為真的命題，而且只包含這類命題；因此，他稱這個條件為“實質上充分的”（或譯為“確切的”、“適當的”）。
3.定義的構造
一個語言系統可以包括無窮多個語句，為了使“實質充分”的`條件得以實現，就必須提供一個方法使得我們可以從簡單的有限的語句構造出無窮多個語句。但塔斯基發現：從那些帶量詞的形式化語言的形式構造的角度看來，複合語句一般不是由簡單語句（不包含自由變項的語句函項）複合而成，而是由簡單的語句函項（其中包含自由變項）複合而成。[xiv]比如在塔斯基用來作為構造真理定義的一個具體例子的類演算（thecalculusofclasses）中，某一個複合語句如∩1(i1,1+∩1∪2i2,1)（意思是“對於任何類a，aa；或者有一個類b，使得ba”）並不是由“∩1i1,1”和“∩1∪2i2,1”透過析取（+）構成，而是由語句函項“i1,1”和簡單語句“∩1∪2i2,1”的析取再加上全稱量詞“∩1”而構成。因此，我們只有先定義簡單的語句函項和由簡單語句函項構造複合語句函項的運算，然後將語句作為語句函項的極端情況，即其中不帶自由變項的語句函項處理。塔斯基用遞迴方法定義了語句函項，即先定義（描述）最簡單結構的語句函項（比如ik,l，意思為“類a被包含於類b”；k和l的值是自然數，代表類變項），然後定義從較簡單的語句函項構造出複合語句函項所憑藉的運算，比如否定、析取、加量詞。但是，一個語句函項無所謂真假，比如我們不能說“X+3=5”是真或是假，而只能講它能被什麼物件所滿足，例如“2”。因此，“某個語句函項被某些物件滿足”的概念就作為第一個語義概念、即涉及到表示式與其物件的關係的概念而被引入，定義這個概念成為塔斯基工作中幾乎是最重要的一環。
（這裡要提醒一下：對於“滿足”和其後“真理”的定義是在元語言中給出的，因此下面提到的物件語言的各種表示式都已被翻譯成元語言了。）
出於技術性的考慮，[xv]塔斯基實際上用的是“某個語句函項被物件的某個無限序列所滿足”的概念。為了使定義明晰，塔斯基將物件語言的所有變項都用自然數加上了附標，因此一個語句函項中的自由變項和約束變項都是帶有附標的，比如類演算中的語句函項∩2i1,2；物件的一個無限序列就是該語言所涉及的物件按附標大小順序排列而成，比如由類演算中所有的類按附標排列成一個無限序列。一個語句函項x能否被物件的一個無限序列f所滿足，取決於與x中自由變項vi相應（即有同樣附標）的物件序列中的項fi。如果按照定義fi滿足vi，那麼這個物件的無限序列也就滿足該語句函項。[xvi]
塔斯基還是用遞迴方法來定義“滿足”：
定義22：序列f滿足語句函項x，當且僅當，f是類的一個無限序列並且x是一個語句函項，而且它們滿足下面四個條件之一：（1）有自然數k和ι使得x=ik,l並且fkfl;(2)有一個語句函項y使得x=y並且f不滿足函項y；（3）有語句函項y和z使得x=y+z並且f或者滿足y或者滿足z；（4）有一個自然數k和一個語句函項y使得x=∩ky並且每個與f至多在第k處不同的類的無限序列都滿足函項y。[xvii]
（說明：在塔斯基所使用的類演算的元語言中，“i”的意思為“被包含於”；“y”的意思為“非y”；“y+z”的意思為“y或z”；“∩ky”的意思為“對於所有vk（附標為k的那個變項），表示式y都成立”；“∪ky”的意思是：“有一個vk使得表示式y成立”。）
按照這個定義，我們可以把“某個語句函項被物件的某個無限序列所滿足”這樣一個語義概念的每一個例子都還原為或歸約為物件語言的某些表示式及其關係，因而滿足了“形式上正確、實質上充分”的條件。比如：類的無限序列f滿足語句函項i1，2當且僅當f1f2；滿足語句函項i2,3+i3,2當且僅當f2≠f3；滿足語句函項∩2i1,2當且僅當f1是空類；滿足語句函項∩2i2,3當且僅當f3是滿類。並且，我們可以利用條件（4）提供的加全稱量詞的運算而由語句函項構成語句，即對語句函項中出現的每個自由變項都加以約束。因此，我們可以直接用“滿足”概念來定義“真語句”。
從條件（4）可以看出，一個約束變項要麼就被所有的物件序列滿足，要麼就不被任何物件序列滿足。而一個語句中只包含有約束變項，所以，塔斯基給出了這樣一個類演算中的真語句的定義：
定義23：x是一個真語句——符號表示為xTr——當且僅當x是一個語句並且類的每一個無限序列都滿足x。[xviii]
塔斯基接著證明了，只要元語言比物件語言在本質上更豐富，按照這樣一個程式來構造一個關於物件語言的形式上正確實質上充分的定義總是可能的。在1944年發表的《真理的語義學概念及語義學基礎》中，他更簡明地概括了這個定義：“一個語句如果被所有的物件滿足就是真的，否則就是假的。”[xix]
4.這個定義的特點
首先，作為上面講到的“滿足”概念的一種極端情況，即被所有的物件序列滿足或不滿足，這個真語句的定義同樣是“形式上正確和實質上充分”的。也就是說，透過這個定義，我們可以把“某某語句是真的”這樣一個包含語義學中“真”的概念的陳述歸約為[翻譯為]由其意義是完全清楚明確的概念構成的陳述，即歸約為不包含任何[明顯的]語義概念的物件語言的表示式及其關係，而且從理論上講在一切場合都可以進行這種歸約，因此我們可以透過這個定義得到或推論出涉及物件語言每一個語句的所有（T）等式。這就表明，你對於物件語言的瞭解程度與你對於涉及這個語言的語義真理的瞭解程度從邏輯上是等價的。如果你理解了物件語言並能使用它，你也就理解了關於這個語言的真理性並能使用“某某語句是真的”這樣一類陳述；如果你還不理解物件語言但可以分辨它的符號，你也可以在元語言的（T）等式中給出它的真值條件。
這裡需要澄清一個問題，即不能把（T）等式誤認為塔斯基給出的定義本身。透過上面的敘述已很清楚，（T）等式只是這個定義所產生的結果，每一個具體的（T）等式只是一個對於“真”的片斷定義，它們的全體或邏輯合取才與上面那個“定義23”等值或外延相同。
這樣，我們就可以得出這個定義的第二個特點，即每一個語句的真值是與整個語言系統的構造方式密切相關的。一個語句是真的，當且僅當它能被所有物件滿足。“雪是白的”這句話的真值並不象經驗主義所說是依賴於經驗中的“雪”和“白”或者某個孤立的“事件”，那樣的“雪”和“白”是主觀的、無法傳達的和死無對證的。可以想見，一個沒有語言思維結構或概念結構的人或生命，無認論經驗多少次“雪”，也不會懂得“雪是白的”，更無從談其真假。有人曾把（T）等式理解為“‘雪是白的’是真的，當且僅當，雪事實上是白的。”塔斯基堅決地糾正了這一似是而非的錯誤看法，指出某個（T）等式並沒有提供斷定任何特定語句尤其是經驗語句的充要條件，因此與所謂“經驗證實”無關。它告訴我們的是“‘雪是白的’是真的”與“雪是白的”這樣兩個語句在邏輯上是等價的。[xx]“雪是白的”這句話真正的邏輯形式是：“對於一切事物而言，如果它是雪，則它是白的。”這一點在形式化語言中更為明顯；一個語句是否被所有物件滿足，在還沒有追究整個語言系統的真理性之前，完全取決於它在某個語言系統中所處的位置，即這個語言的構造方式給予它的結構特點。因此，一個語言系統中的一切語句儘管在形式上不同，但卻可以按照這個真理定義區分為真假兩類。一切真語句都被所有的物件滿足從而構成一個嚴格的真語句類或真語句的集合。
這個定義的第三個特點是在元語言中利用了更強的邏輯手段。塔斯基用“滿足”概念定義“真”，而對“滿足”這個概念使用了遞迴定義，這種定義方式在物件語言中是不允許的。塔斯基同時申明，不使用遞迴定義而使用正常的定義也是可以的，但這樣就必須在定義項中引入更高邏輯型別的變項。[xxi]
有必要說明一下：這樣一個對於真語句的語義定義與對於真語句的結構定義（structuraldefinition）是不同的。所謂真語句的結構定義就是指給出一個可行的“判定方法”，依據這個方法，我們可以判定某個語言中的每一個語句到底是真還是假（但這種判定也可能涉及無窮多步），而不僅僅是給出它們的真值條件，因此這是一個更具體的定義。而且在建立這樣一個定義的時候，不需要利用更高邏輯型別的變項。比如在命題演算中可以給出這樣一個結構定義，利用真值表我們可以將它變為一個外延相同的語義定義。[xxii]塔斯基在《形式化語言中的真理概念》中也給出了一個類演算的真語句的結構定義，不過又附加了一些公理。但是，在大多數人們感興趣的形式化語言中（包括狹謂詞演算），是無法給出這樣一個定義的，而語義定義則在任何一個本質上比物件語言更豐富的元語言中都可以做出。
因此，我們可以說塔斯基這個定義的第四個特點是它具有普遍性。