全面探討抽象函式主要考查的內容及其解法

全面探討抽象函式主要考查的內容及其解法

　　一、抽象函式的定義域

　　例1已知函式f(x)的定義域為[1,3]，求出函式g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定義域.

　　解析：由由a>0 知只有當0

　　點評：1。已知f(x)的定義域為[a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;

　　2。已知f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x [a,b]上的值域。

　　二、抽象函式的值域

　　解決抽象函式的值域問題——由定義域與對應法則決定.

　　例2若函式y=f(x+1)的值域為[-1，1]求y=(3x+2)的`值域.

　　解析：因為函式y=f(3x+2)中的定義域與對應法則與函式y=f(x+1)的定義域與對應法則 完全相同，故函式y=f(3x+2)的值域也為[-1，1].

　　三、抽象函式的奇偶性

　　例3若y=f(x)是偶函式,y= f(x-1)是奇函式，求 f(2007)=?

　　解析：因為y=f(x-1)是奇函式,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){為什麼?};因為 y=f(x)是偶函式，所以f(-x-1)=f(x+1){為什麼?};因為f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因為y=f(x-1)是奇函式,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)

　　四、抽象函式的對稱性

　　例4已知函式y=f(2x+1)是定義在R上的奇函式，函式y=g(x)的影象與函式y=f(x)的影象關於y=x對稱,則g(x)+ g(-x)的值為( )

　　A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定

　　解析：由y=f(2x+1)求得其反函式為y=[f (x)-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函式，

　　∴y=[f (x)-1]/2也是奇函式，∴[f (x)-1]/2+[f (-x)-1]/2=0 ∴f (x)+f (-x)=2，而函式y=g(x)的影象與函式y=f(x)的影象關於y=x對稱，∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)故選A .

　　五、抽象函式的週期性

　　例5、(2009全國卷Ⅰ理)函式的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函式，則( )

　　(A) f(x)是偶函式 (B) f(x)是奇函式

　　(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函式

　　解: ∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函式，，

　　函式關於(-1,0)點，及點(1,0)對稱，函式是週期為4的週期函式。，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函式.故選D

　　關於抽象函式的週期性有如下的幾個定理和性質，由於篇幅問題，推導就省略了.

　　定理1。若函式y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x+a)=f (x-b)，則y=f (x) 是以T=a+b為週期的週期函式.

　　定理2。若函式y=f (x) 定義域為R，且滿足條件f (x+a)= -f (x-b)，則y=f (x) 是以T=2(a+b)為週期的週期函式.

　　定理3。若函式y=f (x)的影象關於直線 x=a與 x=b (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以T=2(b-a)為週期的週期函式.

　　et 定理4。若函式y=f (x)的影象關於點(a,0)與點(b,0) , (a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=2(b-a)為週期的週期函式.

　　定理5。若函式y=f (x)的影象關於直線 x=a與 點(b,0),(a≠b)對稱，則y=f (x) 是以 T=4(b-a)為週期的週期函式.

　　性質1：若函式f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),則函式f(x)有周期2(a-b);

　　性質2：若函式f(x)滿足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),則函式有周期2(a-b)。

　　特別：若函式f(x)滿足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函式，則函式f(x)有周期2a。

　　性質3：若函式f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)， 則函式有周期4(a-b)。

　　特別：若函式f(x)滿足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函式，則函式f(x)有周期4a.

　　從以上例題可以發現，抽象函式的考查範圍很廣，能力要求較高.但只要對函式的基本性質熟，掌握上述有關的結論和型別題相應的解法，則會得心應手。