全國高中數學聯合競賽一試試題（A卷）
全國高中數學聯合競賽一試試題（A卷）
高中數學聯賽篇一：2015年全國高中數學聯賽試題
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分
1.設a,b為不相等的實數，若二次函式f(x)?x2?ax?b滿足f(a)?f(b)，則f(2)的值為2.若實數?滿足cos??tan?，則1?cos4?的值為sin?
3.已知複數數列{zn}滿足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,3,?)，其中i為虛數單位，zn表示zn的共軛複數，則z2015的值為4.在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,邊DC（包含點D,C）上的動點P與CB延長線上（包含
點B）的動點Q滿足DP?BQ,則向量PA與向量PQ的數量積PA?PQ的最小值為
5.在正方體中隨機取3條稜，它們兩兩異面的機率為
6.在平面直角座標系xOy中，點集K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所對應的平面區域的面積為
7.設?為正實數，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，則?的取值範圍是
8.對四位數abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)，若a?b,b?c,c?d，則稱abcd為P類數，若a?b,b?c,c?d，則稱abcd為Q類數，用N(P),N(Q)分別表示P類數與Q類數的個數，則N(P)?N(Q)的值為??
二、解答題：本大題共3小題，滿分56分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
9.（本題滿分16分）若實數a,b,c滿足2a?4b?2c,4a?2b?4c，求c的最小值.
10.（本題滿分20分）設a1,a2,a3,a4是4個有理數，使得
31??aa1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值.?ij??28??
x2
11.（本題滿分20分）在平面直角座標系xOy中，F1,F2分別是橢圓?y2?1的左、右焦點，2
設不經過焦點F1的直線l與橢圓交於兩個不同的點A,B，焦點F2到直線l的距離為d，如果直線AF1,l,BF1的斜率依次成等差數列，求d的取值範圍.
2015年全國高中數學聯合競賽加試試題（A卷）
一、（本題滿分40分）設a1,a2,?,an(n?2)是實數，證明：可以選取?1,?2,?,?n??1,?1?，使?????n2?得??ai?????iai??(n?1)??ai?.?i?1??i?1??i?1?
二、（本題滿分40分）設S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n個互不相同的有限集合
（n?2），滿足對任意的Ai,Aj?S，均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.證明：存在x??Ai，1?i?ni?1nn2n2使得x屬於A1,A2,?,An中的至少n個集合（這裡X表示有限集合X的元素個數）.k?上一點，點K線上段AP上，使得三、（本題滿分50分）如圖，?ABC內接於圓O，P為BC
BK平分?ABC，過K,P,C三點的圓?與邊AC交於D，連線BD交圓?於點E，連線PE並延長與邊AB交於點F.證明：?ABC?2?FCB.（解題時請將圖畫在答卷紙上）
四、（本題滿分50分）求具有下述性質的所有正整數k：
(kn)!對任意正整數n，2(k?1)n?1不整除.
n!
高中數學聯賽篇二：高中數學聯賽基本知識集錦
高中數學聯賽基本知識集錦
一、三角函式
常用公式
由於是講競賽，這裡就不再重複過於基礎的東西，例如六種三角函式之間的轉換，兩角和與差的三角函式，二倍角公式等等。但是由於現在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎的開始（這些必須熟練掌握）：
半形公式
sin?
2??1?cos2
cos?1?cos?
2??2
tan?1?cos?
2??1?cos??1?cos?sin?
sin??1?cos?
積化和差
sin?cos??1
2?sin??????sin??????
cos?sin??1
2?sin??????sin??????
cos?cos??1
2?cos??????cos??????
sin?sin???1
2?cos??????cos??????
和差化積
sin??sin??2sin???
2cos???
2
sin??sin??2cos??????
2sin2
cos??cos??2cos??????
2cos2
cos??cos???2sin??????
2sin2
萬能公式
sin2??2tan?
1?tan2?
1?tan2
cos2???
1?tan2?
tan2??2tan?
1?tan2?
三倍角公式
sin3??3sin??4sin3??4sin60???sin?sin60???
cos3??4cos3??3cos??4cos60???cos?cos60???
二、某些特殊角的三角函式值
????????
三、三角函式求值
給出一個複雜的式子，要求化簡。這樣的題目經常考，而且一般化出來都是一個具體值。要熟練應用上面的常用式子，個人認為和差化積、積化和差是競賽中最常用的'，如果看到一些不常用的角，應當考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時候，可以考慮先乘一個三角函式，然後利用積化和差化簡，最後再把這個三角函式除下去
舉個例子
2?4?6??cos?cos777
2?提示：乘以2sin，化簡後再除下去。7求值：cos
求值：cos10??cos50??sin40?sin80?
來個複雜的
設n為正整數，求證22?sin
i?1ni?2n?1?2n?12n
另外這個題目也可以用複數的知識來解決，在複數的那一章節裡再講
四、三角不等式證明
最常用的公式一般就是：x為銳角，則sinx?x?tanx；還有就是正餘弦的有界性。例
求證：x為銳角，sinx+tanx<2x
設x?y?z??
12，且x?y?z??
2，求乘積cosxsinycosz的最大值和最小值。
注：這個題目比較難
數列
關於數列的知識可以說怎麼學怎麼有，還好我們只是來了解競賽中最基本的一些東西，不然我可寫不完了。?
1給遞推式求通項公式
(1)常見形式即一般求解方法
注：以下各種情況只需掌握方法即可，沒有必要記住結果，否則數學就變成無意義的機械勞動了。
①an?1?pan?q
若p=1，則顯然是以a1為首項，q為公差的等差數列，
若p≠1，則兩邊同時加上qq，變為an?1??p?1p?1?q?p?a??np?1????
顯然是以a1?q為首項，p為公比的等比數列p?1
②an?1?pan?f?n?，其中f(n)不是常數
若p=1，則顯然an=a1+?f?i?，n≥2
i?1n?1
若p≠1，則兩邊同時除以pn+1，變形為an?1anf?n???n?1nn?1ppp
n?1ana1n?1f?i?f?i??n?1?利用疊加法易得n???i?1，從而an?p?a1??i?pi?1ppi?1p??
注：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們再介紹一些屬於數學競賽中的“高階方法”。
(2)不動點法
當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：an?1?a?an?bc?an?d
注：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。
我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定係數，又要求倒數之類的，太複雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了令x?a?x?b2，即cx??d?a?x?b?0，c?x?d
令此方程的兩個根為x1，x2，
若x1=x2
則有
11??pan?1?x1an?x1
其中k可以用待定係數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將p的表示式記住，p=
若x1≠x2則有2ca?d
an?1?x1a?x1?q?n
an?1?x2an?x2
其中k可以用待定係數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。
注：如果有能力，可以將q的表示式記住，q=a?cx1a?cx2
(3)特徵根法
特徵根法是專用來求線性遞推式的好方法。
先來了解特徵方程的一般例子，透過這個來學會使用特徵方程。
①an?2?pan?1?qan
特徵方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2
nn則其通項公式為an?A?x1，A、B用待定係數法求得。?B?x2
②an?3?pan?2?qan?1?ran
特徵方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3
nnn則其通項公式為an?A?x1，A、B、C用待定係數法求得。?B?x2?C?x3
注：透過這兩個例子我們應當能夠得到特徵方程解線性遞迴式的一般方法，可以試著寫出對於一般線性遞迴式的特徵方程和通項公式，鑑於3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。
(4)數學歸納法
簡單說就是根據前幾項的規律猜出一個結果然後用數學歸納法去證。這樣的題雖說有不少但是要提高不完全歸納的水平實在不易。大家應當都會用數學歸納法，因此這裡不詳細說了。但需要記得有這樣一個方法，適當的時候可以拿出來用。
(5)聯絡三角函式
三角函式是個很奇妙的東西，看看下面的例子
an?1?2an21?an
看起來似乎摸不著頭腦，只需聯絡正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。
注：這需要我們對三角函式中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書中能見到很多。
例
數列?an?定義如下：a1?2，求?an?通項2，an?1?2?4?an
注：這個不太好看出來，試試大膽的猜想，然後去驗證。
(6)迭代法
先了解迭代的含義
f0?x??x，f1?x??f?x?，f2?x??f?f?x??，f3?x??f?f?f?x???，??
f右上角的數字叫做迭代指數，其中f
再來了解複合的表示?n?x?是表示fn?x?的反函式
f?g?x??f?g?x??，f?g?h?x??f?g?h?x???
如果設F?x??g?1?f?g?x?，則Fn?x??g?1?fn?g?x?，就可以將求F(x)的迭代轉變為求f(x)的迭代。這個公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎。
而在數列中我們可以將遞推式看成an?1?F?an?，因此求通項和求函式迭代就是一樣的了。我們儘量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項公式。
練習
?an?滿足a1?1，a2?2，a2n?1?已知數列a2n?a2n?1，a2n?2?a2n?1a2n，試求數列的2
通項公式。
注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項公式的常用方法。
下面是我的一個原創題目
已知數列?an?滿足a1?0，a2?1，an?1?n??an?an?1?，求該數列的通項公式。
2數列求和
求和的方法很多，像裂項求和，錯位相減等等，這些知識就算單純應付高考也應該都掌握了，這裡不再贅述。主要寫競賽中應當掌握的方法——阿貝爾恆等式。
阿貝爾（Abel）恆等式
有多種形式，最一般的是
?ab??S?bkkk
k?1k?1nn?1k?bk?1??Snbn
其中Sk??a
i?1kk
注：個人認為，掌握這一個就夠了，當然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。
高中數學聯賽篇三：2014全國高中數學聯賽試題
2014全國高中數學聯賽試題
一、填空題
1、若正數a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),則
11
?的值為__________ab
2、設集合{?b|1?a?b?2}中的最大值與最小值分別為M,m，則M?m=_________3、若函式f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上單調遞增，則a的取值範圍為_______4、數列{an}滿足a1?2,an?1?
3a
2(n?2)a2014
an(n?N?)，則=_________n?1a1?a2?...?a2013
5、已知正四稜錐P?ABCD中，側面是邊長為1的正三角形，M,N分別是邊AB,BC的中點，則異面直線MN與PC之間的距離是_____________
6、設橢圓?的兩個焦點是F1,F2，過點F1的直線與?交於點P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且
3|PF1|?4|QF1|，則橢圓?的短軸與長軸的比值為__________
7、設等邊三角形ABC的內切圓半徑為2，圓心為I。若點P滿足PI?1，則?ABC與
?APC的面積之比的最大值為__________8、設A,B,C,D是空間四個不共面的點，以
1
的機率在每對點之間連一條邊，任意兩點之2
間是否連邊是相互獨立的，則A,B可用（一條邊或者若干條邊組成的）空間折線連線的機率是__________
二、解答題
P是不在x軸上一個動點，9、平面直角座標系xOy中，滿足條件：過P可作拋物線y?4x
的兩條切線，兩切點連線lP與PO垂直。設直線lP與PO，x軸的交點分別為Q,R，（1）證明：R是一個頂點（2）球
2
|PQ|
的最小值|QR|
10、數列{an}滿足a1?
?
,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整數m，使得
6
sina11sina2......sianm?
100
11、確定所有的複數?，使得對任意的複數z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2
|z1|,|z2|?1,z1?z2），均有
（
2014全國高中數學聯賽二試
一、（本題滿分40分）設a,b,c?R，滿足a?b?c?1，abc?0，
求證：bc?ca?ab?
abc1
?24