函式綜合試題練習
函式綜合試題練習
函式綜合試題
一：選擇題
1．已知，則則A等於 （ ）
A．15 B． C． D．225
2．若0＜a＜1，且函式，則下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知則的值等於( )
A．0 B． C． D．9
4．若，則（ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
5．已知實數a、b滿足等式，下列五個關係式：① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③a=b；④ 1<a<b；⑤l<b<a．其中不可能成立的關係式有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．若0＜a＜1，且函式，則下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知：的不等實根一共有（ ）
A、1個 B、2 個 C、3 個 D、4個
8．在計算機的演算法語言中有一種函式叫做取整函式（也稱高斯函式），它表示的整數部分，即[]是不超過的最大整數．例如：．設函式，則函式的值域為 （ ）
A. B. C. D.
9．曲線在原點處的切線方程為
A.B.C.D.
10.設函式有（ ）
A．分別位於區間（1，2），（2，3），（3，4）內的三個根
B.四個實根
C.分別位於區間（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）內的四個根
D.分別位於區間（0，1）（1，2），（2，3），內的三個根
11．函式的導數是（ ）
A． B. C. D.
12．與定積分相等的是（ ）
A． B.C. -D. +
二：填空題
13．由曲線所圍成的圖形面積是 .
14．一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關係如圖所示，則該汽車在前3小時內行駛的路程為_________km，假設這輛汽車的里程錶在汽車行駛這段路程前的讀數為2006km，那麼在時，汽車裡程表讀數與時間的函式解析式為__________。
15. 函式f(x)=x3－3x2＋6x－7的圖象是中心對稱圖形, 其對稱中心的座標為_________ 。
16．給出下列四個命題：
①函式（且）與函式（且）的定義域相同；
②函式與的值域相同；
③函式與都是奇函式；
④函式與在區間[0，＋）上都是增函式。
其中正確命題的序號是_____________。（把你認為正確的命題序號都填上）
三：解答題
17．（12分）設f (x)＝lg(ax2－2x＋a),
(1) 如果f (x)的定義域是(－∞, ＋∞)，求a的取值範圍；
(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值範圍。
18．（12分）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關於行駛速度x（千米/小時）的函式解析式可以表示為：y=(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米。
（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
19.（12分）設, 點P是函式的圖象的一個公共點, 兩函式的圖象在點P處有相同的切線.
(1) 用表示a, b, c;
(2) 若函式在上單調遞減，求的取值範圍.
20．（12分）設函式, 其中,是的導函式.
(1)若,求函式的解析式;
(2)若,函式的兩個極值點為滿足. 設, 試求實數的取值範圍.
21．（14分）已知函式，，且有極值．
（1）求實數的取值範圍；
（2）求函式的值域；
（3）函式，證明：，，使得成立．
22．（12分）設f（x）是定義在[0，1]上的函式，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函式，x*為峰點，包含峰點的區間為含峰區間．對任意的[0，l]上的單峰函式f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法．
（1）證明：對任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），則（0，x2）為含峰區間；若f（x1）≤f（x2），則（x*，1）為含峰區間；
（2）對給定的r（0＜r＜0.5＝，證明：存在x1，x2∈（0，1），滿足x2－x1≥2r，使得由（I）所確定的含峰區間的長度不大於0.5＋r；
（3）選取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可確定含峰區間為（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰區間內選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定一個新的含峰區間．在第一次確定的含峰區間為（0，x2）的情況下，試確定x1，x2，x3的值，滿足兩兩之差的絕對值不小於0.02，且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34.（區間長度等於區間的右端點與左端點之差）
函式綜合參考答案
一：選擇題BDCB，BDDB，DAAC
二：填空題13．e－2 14．220； 15．(1,－3) 16．①③
三：解答題
17．解：(1) ∵f (x)的定義域是(－∞, ＋∞),
∴ 當x∈(－∞, ＋∞)時,都有ax2－2x＋a>0, 即滿足條件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, a="">1.（6分）
(2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即當x在定義域內取值時，可以使y∈(－∞, ＋∞).
要求ax2－2x＋a可以取到大於零的一切值，∴a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0,
解得0≤a≤1.……12分
18．解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗沒（升）。……5分
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。……6分
（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，
依題意得…………8分
令得
當時，是減函式；
當時，是增函式。
當時，取到極小值
因為在上只有一個極值，所以它是最小值。………………………………11分
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。（12分）
19．解: (1) 因為函式, 的圖象都過點, 所以,
即.因為所以.………………3分
又因為, 在點處有相同的切線, 所以
而……………………………………………5分
將代入上式得因此故,,………………6分
(2) 解法一: .……8
當時, 函式單調遞減.
由, 若; 若
由題意, 函式在上單調遞減, 則
所以
又當時, 函式在上單調遞減.
所以的取值範圍為……………………………………………………12
解法二：
因為函式在上單調遞減, 且是
上的拋物線, 所以即解得
所以的取值範圍為………………………………………………………12分
20．解: ………………………………………………1分
(Ⅰ)據題意,…………………………………2分
由知,是二次函式圖象的對稱軸
又, 故是方程的兩根..............4分
設,將代入得
比較係數得:
故為所求.………………………………6分
(其它解法酌情記分)
另解：，…………………….1分
據題意得 ………3分 解得 …………………5分
故為所求.………………………………6分
(Ⅱ)據題意,,則
又是方程的兩根,且
則………………………………………8分
則點的可行區域如圖………………10分
的幾何意義為點P與點的距離的平方.觀察圖形知點，A到直線的距離的平方為的最小值
故的取值範圍是…………………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）由求導可得
………………………………………………………………………………1分
令……………………………………………………………… 2分
可得 ∵ ∴ ∴
又因為
單調遞增
極大值
單調遞減
所以，有極值 …………………………………… ……………………………………3分
所以，實數的取值範圍為．……………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的極大值為………………………………5分
又∵ ，…………………………………………………………6分
由，解得
又∵
∴當時，函式的值域為………………… 7分
當時，函式的值域為． …………………………8分
（Ⅲ）證明：由求導可得
令，解得
令，解得或……………………………… 10分
又∵
∴在上為單調遞增函式……………………………………………………12分
∴在的值域為∵ ，，
∴，，使得成立． …………………………14分
22（1）證明：設x*為f（x） 的峰點，則由單峰函式定義可知，f（x）在[0， x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減．
當f（x1）≥f（x2）時，假設x*（0，x2），則x1<x2f（x1），這與f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰區間.
當f（x1）≤f（x2）時，假設x*（ x2，1），則x*<≤x1f（x2），
這與f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰區間.……4分
（2）證明：由（I）的結論可知：
當f（x1）≥f（x2）時，含峰區間的長度為l1＝x2；當f（x1）≤f（x2）時，含峰區間的長度為l2=1－x1；
對於上述兩種情況，由題意得
由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因為x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ②
將②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以這時含峰區間的長度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所確定的含峰區間的長度不大於0.5＋r．…………………………………………8分
（3）解：對先選擇的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l， ④
在第一次確定的含峰區間為（0， x2）的情況下，x3的取值應滿足x3＋x1＝x2， ⑤
由④與⑤可得，當x1>x3時，含峰區間的長度為x1．
由條件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，從而x1≥0.34．
因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．…12分
抽屜原理與電腦算命
“電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報出自己出生的年、月、日和性別，一按按鍵，螢幕上就會出現所謂性格、命運的句子，據說這就是你的“命”。
其實這充其量不過是一種電腦遊戲而已。我們用數學上的抽屜原理很容易說明它的荒謬。
抽屜原理又稱鴿籠原理或狄利克雷原理，它是數學中證明存在性的一種特殊方法。舉個最簡單的例子，把3個蘋果按任意的方式放入兩個抽屜中，那麼一定有一個抽屜裡放有兩個或兩個以上的蘋果。這是因為如果每一個抽屜裡最多放有一個蘋果 高中歷史，那麼兩個抽屜裡最多隻放有兩個蘋果。運用同樣的推理可以得到：
原理1 把多於n個的物體放到n個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡有2個或2個以上的物體。
原理2 把多於mn個的物體放到n個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡有m+1個或多於m+l個的物體。
如果以70年計算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數應為70×365×2＝51100，我們把它作為“抽屜”數。我國現有人口11億，我們把它作為“物體”數。由於1.1×=21526×51100+21400，根據原理2，存在21526個以上的人，儘管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！
在我國古代，早就有人懂得用抽屜原理來揭露生辰八字之謬。如清代陳其元在《庸閒齋筆記》中就寫道：“餘最不信星命推步之說，以為一時（注：指一個時辰，合兩小時）生一人，一日生十二人，以歲計之則有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）計之，止有二十五萬九千二百人而已，今只以一大郡計，其戶口之數已不下數十萬人（如咸豐十年杭州府一城八十萬人），則舉天下之大，自王公大人以至小民，何啻億萬萬人，則生時同者必不少矣。其間王公大人始生之時，必有庶民同時而生者，又何貴賤貧富之不同也？”在這裡，一年按360日計算，一日又分為十二個時辰，得到的抽屜數為60×360×12＝259200。
所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句象中藥櫃那樣事先分別一一存放在各自的櫃子裡，誰要算命，即根據出生的年月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦的各個“櫃子”裡取出所謂命運的句子。這種在古代迷信的亡靈上罩上現代科學光環的勾當，是對科學的褻瀆。
名師指導：女生如何學好數學
【摘要】您好，這裡是高中數學學習欄目，數學是培養邏輯思維能力，分析能力的重要學科，所以小編在此為您編輯了此文：“名師指導：女生如何學好數學”以方便您的學習，希望能給您帶來幫助。
本文題目：名師指導：女生如何學好數學
女生數學不好的 快來看了 哦
一、“棄重求輕”，培養興趣
女生數學能力的下降，環境因素及心理因素不容忽視。目前社會、家庭、學校對學生的期望值普遍過高。而女生性格較為文靜、內向，心理承受能力較差，加上數學學科難度大，因此導致她們的數學學習興趣淡化，能力下降。因此，教師要多關心女生的思想和學習，經常同她們平等交談，瞭解其思想上、學習上存在的問題，幫助其分析原因，制定學習計劃，清除緊張心理，鼓勵她們“敢問”、“會問”，激發其學習興趣。同時，要求家長能以積極態度對待女生的數學學習，要多鼓勵少指責，幫助她們棄掉沉重的思想包袱，輕鬆愉快地投入到數學學習中;還可以結合女性成才的事例和現實生活中的例項，幫助她們樹立學好數學的信心。事實上，女生的情感平穩度比較高，只要她們感興趣，就會克服困難，努力達到提高數學能力的目的。
二、“開門造車”，注重方法
在學習方法方面，女生比較注重基礎，學習較紮實，喜歡做基礎題，但解綜合題的能力較差，更不願解難題;女生上課記筆記，複習時喜歡看課本和筆記，但忽視上課聽講和能力訓練;女生注重條理化和規範化，按部就班，但適應性和創新意識較差。因此，教師要指導女生“開門造車”，讓她們暴露學習中的問題，有針對地指導聽課，強化雙基訓練，對綜合能力要求較高的問題，指導她們學會利用等價轉換、類比、化歸等數學思想，將問題轉化為若干基礎問題，還可以組織她們學習他人成功的經驗，改進學習方法，逐步提高能力。
高三數學每輪複習要領
一、高三數學複習，大體可分四個階段，每一個階段的複習方法與側重點都各不相同，要求也層層加深，因此，同學們在每一個階段都應該有不同的複習方案，採用不同的方法和策略。
1．第一階段，即第一輪複習，也稱“知識篇”，大致就是高三第一學期。在這一階段，老師將帶領同學們重溫高一、高二所學課程，但這絕不只是以前所學知識的簡單重複，而是站在更高的角度，對舊知識產生全新認識的重要過程。因為在高一、高二時，老師是以知識點為主線索，依次傳授講解的，由於後面的相關知識還沒有學到，不能進行縱向聯絡，所以，你學的往往時零碎的、散亂的知識點，而在第一輪複習時，老師的主線索是知識的縱向聯絡與橫向聯絡，以章節為單位，將那些零碎的、散亂的知識點串聯起來，並將他們系統化、綜合化，側重點在於各個知識點之間的融會貫通。所以大家在複習過程中應做到： ①立足課本，迅速啟用已學過的各個知識點。（建議大家在高三前的一個暑假裡通讀高一、高二教材） ②注意所做題目使用知識點覆蓋範圍的變化，有意識地思考、研究這些知識點在課本中所處的地位和相互之間的聯絡。注意到老師選題的綜合性在不斷地加強。 ③明瞭課本從前到後的知識結構，將整個知識體系框架化、網路化。能提煉解題所用知識點，並說出其出處。 ④經常將使用最多的知識點總結起來，研究重點知識所在章節，並瞭解各章節在課本中的地位和作用。
2．第二輪複習，通常稱為“方法篇”。大約從第二學期開學到四月中旬結束。在這一階段，老師將以方法、技巧為主線，主要研究數學思想方法。老師的複習，不再重視知識結構的先後次序，而是以提高同學們解決問題、分析問題的能力為目的，提出、分析、解決問題的思路用“配方法、待定係數法、換元法、數形結合、分類討論”等方法解決一類問題、一系列問題。同學們應做到： ①主動將有關知識進行必要的拆分、加工重組。找出某個知識點會在一系列題目中出現，某種方法可以解決一類問題。 ②分析題目時，由原來的注重知識點，漸漸地向探尋解題的思路、方法轉變。 ③從現在開始，解題一定要非常規範，俗語說：“不怕難題不得分，就怕每題都扣分”，所以大家務必將解題過程寫得層次分明，結構完整。 ④適當選做各地模擬試卷和以往高考題，逐漸弄清高考考查的範圍和重點。
3．第三輪複習，大約一個月的時間，也稱為“策略篇”。老師主要講述“選擇題的解發、填空題的解法、應用題的解法、探究性命題的解法、綜合題的解法、創新性題的解法”，教給同學們一些解題的特殊方法，特殊技巧，以提高同學們的解題速度和應對策略為目的。同學們應做到： ①解題時，會從多種方法中選擇最省時、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考問題，逐漸適應高考對“減縮思維”的要求。 ②注意自己的解題速度，審題要慢，思維要全，下筆要準，答題要快。 ③養成在解題過程中分析命題者的意圖的習慣，思考命題者是怎樣將考查的知識點有機的結合起來的，有那些思想方法被複合在其中，對命題者想要考我什麼，我應該會什麼，做到心知肚明。
4．最後，就是衝刺階段，也稱為“備考篇”。在這一階段，老師會將複習的主動權交給你自己。以前，學習的重點、難點、方法、思路都是以老師的意志為主線，但是，現在你要直接、主動的研讀《考試說明》，研究近年來的高考試題，掌握高考資訊、命題動向，並做到： ①檢索自己的知識系統，緊抓薄弱點，並針對性地做專門的訓練和突擊措施（可請老師專門為你拎一拎）；鎖定重中之重，掌握最重要的知識到爐火純青的`地步。 ②抓思維易錯點，注重典型題型。 ③瀏覽自己以前做過的習題、試卷，回憶自己學習相關知識的歷程，做好“再”糾錯工作。 ④博覽群書，博聞強記，使自己見多識廣，注意那些背景新、方法新，知識具有代表性的問題。 ⑤不做難題、偏題、怪題，保持情緒穩定，充滿信心，準備應考。
二、高三數學複習中的幾個注意點
1．複習資料要精，不可超過兩套，使用過程中，始終注重其系統性。千萬不要貪多，資料多了，不但使自己身陷題海，不能自拔，而且會因為你的顧此失彼，而使知識體系得不到延續。
2．有的同學漠視自己作業和考試中出現的錯誤，將他們簡單的歸結為粗心大意。這是很嚴重的錯誤想法，我們的錯誤都有其必然性，一定要究根問底，找出真正的原因，及時改正，並記住這樣的教訓。
3．千萬不要以為“高考以能力立意”，就是要去鑽難題、偏題、怪題。這裡的能力是指：思維能力，對現實生活的觀察分析力，創造性的想象能力，探究性實驗動手能力，理解運用實際問題的能力，分析和解決問題的探究創新能力，處理、運用資訊的能力，新材料、新情景、新問題應變理解能力，其重點是概念觀點形成和規律的認識過程，它往往蘊藏在最簡單、最基礎的題目活事實之中。不是鑽牛角尖能鑽出來的能力。
4．合理看待來自老師和社會各界的猜題、壓題資訊，不可迷信。因為，他們也不是神，我們上了考場只能憑自己的實力，憑自己的智慧去打拼，所以，我們應該踏踏實實、認認真真做好複習應考工作。
多邊形內角和公式
設多邊形的邊數為N
則其內角和＝（N－2）*180° 高中歷史;
因為N個頂點的N個外角和N個內角的和
＝N*180°
（每個頂點的一個外角和相鄰的內角互補）
所以N邊形的外角和
＝N*180°－（N－2）*180°
＝N*180°－N*180°＋360°
＝360°
即N邊形的外角和等於360°
設多邊形的邊數為N
則其外角和＝360°
因為N個頂點的N個外角和N個內角的和
＝N*180°
（每個頂點的一個外角和相鄰的內角互補）
所以N邊形的內角和
＝N*180°－360°
＝N*180°－2*180°
＝（N－2）*180°
即N邊形的內角和等於（N－2）*180°
怎樣理解“合併同類項”
俗話說“物以類聚”。意思是說，同一種類型的東西可以聚集在一起。當然，不同型別的東西，就不能隨意聚集。比如，收拾房間，書放在書架上，衣服放進衣櫥，碗盤放在碗櫥，...。不能把碗朝衣櫥裡放，衣服堆到書架上，...。到動物園參觀，老虎與老虎關在一個籠子裡，熊貓與熊貓關在另一個籠子裡。不能把熊貓與老虎關在一起，否則熊貓要被老虎吃光了。這就是“物以類聚”。
在數學裡，也常用到這種同類相聚的思想。
以名數為例，3元和2元的單位都是元，可以加，等於5元。3元8角和2元3角也可以加，但要注意元只能跟元加，角只能跟角加，元不能跟角加，答案應該是6元l角。不同名數，如果可以化為相同名數，必須化相同以後再加；如果不能化成同名數，就不能加。例如，3千克和6元表示不同的量，這兩個單位無論如何也不能化為相同，所以下能相加。
整數加減法法則，為什麼要強調“數位對齊”？因為數位對齊以後，同數位上的數字的單位相同，可以相加減。同樣，小數加減法強調“小數點對齊”，因為一旦小數點對齊了，整數部分和分數部分的數位也都對齊了，於是便可以相加減。
再看看分數的加減法。同分母的分數單位相同，可以直接相加減；異分母的分數單位不同，不能直接相加減，必須先通分。通分的實質就是把不同單位的分數化成相同單位的分數。分數單位相同，才能相加減。
現在，我們看看合併同類項的問題，這是代數式加減法的基礎。與能相加，單位可以看成是。可以理解為3個，可以理解為5個，合併起來應該是8個 ，即
同理，6ab減去4ab，可以把單位看成是ab,6個ab減去4個ab，得2個ab，即
6ab－4ab=2ab。
所以，對多項式的加減法而言，同類項才能合併，不是同類項不能合併。總而言之，物以類聚，在進行代數加減法時，要注意“同類”這個特點。
高一數學學習：數學學習應注意的六個方面五
為了幫助學生們更好地學習高中數學，精心為大家蒐集整理了“高一數學學習：數學學習應注意的六個方面五”，希望對大家的數學學習有所幫助!
高一數學學習：數學學習應注意的六個方面五
6.要有毅力、要有恆心：基本上要有一個認識：數學能力乃是長期努力累積的結果，而不是一朝一夕之功所能達到的。您可能花一天或一個晚上的功夫把某課文背得滾瓜爛熟，第二天考背誦時對答如流而獲高分，也有可能花了一兩個禮拜的時間拼命學數學，但到頭來數學可能還考不好，這時候您可不能氣餒，也不必為花掉的時間惋惜，因為種什麼“因”必能得什麼“果”，只要繼續努力，持之有恆，最後必能證明您的努力沒有白費!
經過精心的整理，有關“高一數學學習：數學學習應注意的六個方面五”的內容已經呈現給大家，祝大家學習愉快!