淺析塔斯基的邏輯後承概念定義的論文

　　“邏輯後承”是邏輯學的核心概念。早在1936 年以德文發表的《論邏輯後承概念》一文中，塔斯基就專門且明確地討論了這個概念。他藉助所謂的“科學語義學”(即模型論語義學)的技術給出了邏輯後承概念的定義，並認為他的定義最能符合我們關於通常的後承概念的直覺。儘管受到塔斯基的影響，模型論方法已經成為邏輯學家們研究各種邏輯性質的重要工具，但塔斯基對邏輯後承的模型論定義在外延上是否等價於直覺上的通常的後承概念，這一點仍然存在爭議。埃徹門第批評塔斯基的定義缺乏外延恰當性，既有“過度(overgeneration)”問題也有“不及(undergeneration)”問題(Etchmendy，1990，148，150)。這兩方面的問題皆歸咎於該定義對邏輯後承的錯誤的還原，即把邏輯後承概念還原為具體論證的保真性，這致使它無法為論證的邏輯有效性提供獨立的概念性保障(Etchmendy，2008，267)。本文將針對埃徹門第的批評，圍繞外延的恰當性和概念分析的恰當性這兩個方面為塔斯基的定義提出辯護。

　　一、塔斯基的模型論定義

　　塔斯基對邏輯後承概念的定義起點在於合乎我們關於通常的後承概念的直覺。在他看來，如果一個語句X 是從語句集K 邏輯地推出的，那麼通常在直覺上，不可能K 中的語句都是真的而X 卻是假的。邏輯後承的必然性決定了它是形式的，即“這種關係不能以任何方式被經驗知識所影響，……後承關係不能因在這些語句中指稱物件的指示詞被指稱其他物件的指示詞所替換而受到影響”(Tarski，1936，212)。這意味著，這種關係在前提集K 與結論X 之間成立，必須獨立於K 中的所有語句和作為結論的語句X中的非邏輯常項的涵義，而僅僅依賴於其中出現的邏輯常項的涵義。只要邏輯常項被選定，無論如何對其中出現的非邏輯常項做相應的替換，都不會改變後承關係。如果語句X 是從集合K 邏輯地推出的，那麼不僅要求並非K 中的所有語句都為真而X 卻為假，還要求對於K 中所有語句和X 的如上替換結果也應如此。這樣，塔斯基就得到了邏輯後承的必要條件：

　　(F)如果在集合K 的語句中和在語句X 中，(除純粹的邏輯常項之外的)常項被其他常項所替換(類似的記號在所有地方都被類似的記號替換)，如果我們用‘K′’表示由K 得到的語句集，且用‘X′’表示由X 得到的語句，那麼語句X′必須是真的只要集合K′中的所有語句都是真的。(Tarski，1936，212)條件(F)還不足以定義邏輯後承，因為它並不同時構成邏輯後承的充分條件，除非我們假定表達K和X 的語言包含了足夠充分的非邏輯常項(符號)。但事實上這種假定並不總能成立。為此，塔斯基建議尋求其他工具，即語義學的工具。在塔斯基那裡，轉向邏輯後承的語義學定義很自然。因為語義學能夠提供的工具就是滿足概念，而這個概念在其《形式化語言中的真概念》(1933)中已經獲得了嚴格定義。因此，通常的後承概念的直覺就可以被重新表述為：如果一個語句X 是從語句集K 邏輯地推出的，那麼通常在直覺上，不可能論域中物件的所有序列都滿足K 中的語句而不滿足X。結合定義(F)，就可以得到如下表述：任何能夠滿足K* 中所有語句函式的序列也能滿足X*。需要注意的是，為了避免非邏輯常項短缺的問題以及為了表達必然性，這裡的“K*”、“X*”不再是對K 中所有語句以及語句X 中的非邏輯常項進行相應替換後得到的某個語句，塔斯基把它們分別規定為將非邏輯常項直接替換為相應的變元而得到的語句函式的集合和語句函式(sentential function)。其實，滿足概念的定義首先就是針對“一個給定語句函式被物件或物件序列滿足的概念”，而真概念或語句的滿足概念則以此為基礎。藉助滿足概念，我們只需要對前面的表述稍加修改就可以得到邏輯後承的一個新定義：

　　(S)語句X 是由語句集K 邏輯地得出的，當且僅當如果K* 和X* 等分別是由語句集K 和語句X 得到的語句函式集和語句函式，則所有滿足K* 中每個語句函式的物件序列都滿足語句函式X*。塔斯基沒有提到定義(S)，大概是因為這個定義還不夠簡潔、不夠直觀。正是藉助語句函式以及基礎的滿足概念，塔斯基引入了模型概念①。如前所述，令K 為任意語句集、X 為任意語句，K* 為由K 得到的語句函式集，X* 為由X 得到的語句函式。任意滿足集合K* 中每個語句函式的物件序列都被稱為語句集K的模型;任意滿足X* 的物件序列都被稱為X 的模型。在此基礎上，塔斯基給出了邏輯後承概念的更為簡潔直觀的模型論定義：

　　(M)語句X 是由語句集K 邏輯地得出的，當且僅當集合K 的每個模型都是語句X 的模型。

　　由模型概念的定義不難看出，(M)與(S)是等價的。在這裡必須要強調的`是，塔斯基的定義(M)是以(S)為基礎的，前者較之後者而言僅僅在字面上更有利於體現“模型論方法”的特徵，而對邏輯後承概念的模型論定義的實質則在定義(S)中得到了充分表達。這意味著，在塔斯基的定義中，模型概念並不是必要的，而僅僅是作為簡化定義的一個工具而已。同樣，也不需要藉助真概念。(語句函式的)滿足概念才是必不可少的，是塔斯基的定義的核心。

　　鑑於滿足以及模型等概念均已得到嚴格定義，定義(M)顯然不再包含任何模糊的概念，塔斯基自信地認為：“每個理解上述定義之內容的人都必須承認它與[邏輯後承概念的]日常用法是相當一致的。這一點相對於它的其他後承概念而言將變得更加明顯。”(Tarski，1936，213)模型論方法的優勢在其他邏輯性質的刻畫上也得到凸顯。與邏輯後承聯絡最為緊密的邏輯性質就是邏輯真：語句X 是邏輯地真的，當且僅當所有物件序列都是它的模型。雖然塔斯基的定義因其突出的優勢已經被大多數邏輯學家所廣泛接受，但批評之聲依然存在。其中最具代表性的批評來自埃徹門第，他列舉了塔斯基的定義面臨的幾個問題，以此質疑其恰當性。接下來，本文將分別針對其中兩個最為關鍵的問題進行討論②。

　　二、“過度”問題

　　儘管定義(M)被視為是模型論定義的典範，但埃徹門第還是指責塔斯基的定義會直接導致“過度”問題①，這是因為塔斯基的定義預設了一個固定不變的量詞論域。在埃徹門第看來，這也是塔斯基的定義與標準模型論的定義的重要區別所在：現代的標準的模型論語義學考慮到了量詞論域的變化及其“與其他因素的解釋之間的關鍵的依賴性”，“沒有這種依賴性，塔斯基的定義將絕不會得到標準的結論，即使將量詞處理為非邏輯常項”(Etchmendy，1988，69~70)。

　　所謂“過度”指的是塔斯基的定義會把許多並非邏輯有效的論證判定為邏輯有效。為了說明這一點，我們需要藉助塔斯基對邏輯真概念的模型論分析。首先，根據語句函式的形成機制，如果一個語句不包含任何非邏輯常項，那麼它的語句函式就是它本身。接著，根據塔斯基的真之定義，即一個語句是真的當且僅當所有物件序列都滿足它，如果這個語句是真的，它就會是邏輯地真的，因為它的語句函式(也就是它本身)被所有物件序列滿足。於是可以得到這樣的推論：所有以其自身為語句函式的真語句都是邏輯地真的。這樣一來，我們很容易會發現，在包含全稱和存在量詞以及等詞的一階語言中，所有僅僅表達數量的語句都為邏輯真理，例如“至少有一個物件(堝x(x=x))”、“至少有兩個物件(堝x堝y(x≠y))”……(Etchmendy，1990，74，111);對一階語言中的任意真語句的二階存在概括也都是邏輯地真的，例如如果“Fa”是真語句，“堝F*堝x(F*x)”就是真的，而且還是邏輯地真的②。以這些邏輯真語句為結論，我們不難構造很多論證，無論其前提或前提集是什麼，按照塔斯基的定義，這些論證都將名正言順地歸入邏輯後承概念的外延。但這些語句直覺上並不是真正的邏輯真理，它們是“關於世界的實質的、非邏輯的斷言”(Etchmendy，2008，272)③，以它們為結論的論證直覺上也並非邏輯有效的。反例很容易找到：考慮以“恰好有一個物件”為前提、以“恰好有兩個物件”為結論。根據塔斯基的定義，它是邏輯有效的，但很明顯至少存在一種情形能夠使得前提為真且結論為假。

　　按照埃徹門第的分析，造成上述“過度”問題的原因是，塔斯基在定義中預設量詞的論域始終保持不變，即是由所有物件構成的集合。只要像現代的標準的模型論語義學那樣考慮到量詞論域的變化，上述“過度”的反例就不難被排除(Etchmendy，1990，116)。由於考慮了論域，標準模型論的模型就是由論域與物件序列構成的有序對(其中論域D 與物件序列s 都是可變的)。一個語句是邏輯真理，當且僅當所有這樣的有序對都是它的模型。如果埃徹門第的觀點正確，那麼塔斯基使用的模型就是侷限於以全域U 為論域的一類特殊的有序對，即(其中，只有物件序列f 是可變的)。由這類有序對決定的邏輯真理和邏輯後承難免會較為寬泛。

　　現在我們需要考慮的是塔斯基的定義是否確實預設了一個不變的全域。雖然塔斯基在《論邏輯後承概念》(1936)一文中並沒有談到論域，但在給真概念定義時，他給出了兩種真概念和滿足概念的定義，一種是絕對的，一種是相對的。後者需要考慮論域，即“在個體論域a 中為真”以及“在有k 個元素的論域中為真”。他認為“在演繹科學的方法論中……相對性特徵的真概念比絕對概念起著更大的作用，並以之作為其特殊情形”(Tarski，1933，199)。這說明塔斯基並沒有忽視不同論域對語句真值的影響。至於他在定義邏輯後承概念的時候是否考慮到這一點，我們不得而知，但值得注意的是，塔斯基1953 年再次討論模型論時明確考慮了論域的變化①。他將模型R 定義為由非空的論域和物件序列構成的有序組，即R=，並藉助模型分別定義了邏輯後承和邏輯真：“一個語句Φ 被稱之為一個語句集合A 的邏輯後承，當且僅當在每一個A 中所有語句在其中被滿足的[模型]R 中，A 被滿足;它被稱為邏輯地真的，當且僅當它在每個可能的[模型]中被滿足。”(Tarski，1953，8)在這裡，塔斯基並沒有對U(即“R 的世界(universe)”)做出限定，更有趣的是，塔斯基還考慮了“坌x坌y(x=y)”這個反例，他說：“這個語句明顯表達了世界只包含一個元素的事實;儘管在這個語句中沒有非邏輯常項出現，它也不是邏輯公理，因為它不被所有的[模型]滿足。”(Tarski，1953，18)可見，即使塔斯基在1936 年所使用的模型是論域不變的，那麼至少到了1953 年，塔斯基已經糾正了這個錯誤。何況，他並沒有提到1953 年的這種定義是對早期工作的糾正或者補充，相反，他還在註釋中提醒我們，關於滿足、真、邏輯後承以及邏輯真概念的形式定義和細節討論參考他的早期工作。所以，我們不能把塔斯基的定義看作是新的定義，而應該把它看作是更明確的定義或更清晰的重述。這樣一來，我們完全有理由相信，塔斯基1936 年對邏輯後承以及邏輯真概念的模型論定義與1953 年的定義即標準的模型論定義是一致的。

　　三、“不及”的問題

　　埃徹門第認為，塔斯基的定義僅僅“對於帶有邏輯上獨立的原子語句的命題語言而言是有用的。某些重要的修補也可以令它對一階語言(帶有邏輯上獨立的謂詞和函式符號)以及與它們緊密相關的特定語言有用”(Etchmendy，2008，281)。這意味著，對於這些語言之外的那些論證是否真正是邏輯有效的，塔斯基的定義無法做出甄別。因而，塔斯基定義的邏輯後承概念與通常概念在外延上存在嚴重的分歧。前面所討論的“過度”問題是外延恰當性問題的一個方面，它可以透過考慮論域的變化得到解決，而且塔斯基的定義本身包含了這種考慮。現在我們需要討論另外一個方面，即“不及”問題。

　　所謂“不及”，指的是有些直覺上有效的論證卻不屬於塔斯基所定義的邏輯後承概念的外延。按照埃徹門第的觀點，當一個推理的有效性不僅依賴於邏輯常項還依賴於一些非邏輯的、實質的表達時，就會產生“不及”問題(Etchmendy，2008，278)。例如，a 是哲學家，所以a 是人。這個論證是有效的，但它依賴於“哲學家”和“人”這兩個實質謂詞的涵義。這種反例可以被稱為實質論證，但是一般我們可以將它們看作是缺少或者預設了相關前提，只要新增對於這些實質語詞的相應定義或說明作為前提，它們完全可以還原為形式論證。更普遍的“不及”的問題與圍繞一些實質的哲學概念建立起來的論證及其邏輯系統有關，例如模態邏輯、信念邏輯、認知邏輯等，“在所有這些情形下，被研究的後承關係都不被看似正確的塔斯基的刻畫所承認”(Etchmendy，2008，280)。不難看出，這些邏輯中的論證的有效性除了依賴於通常的真值函式的邏輯聯結詞之外，還依賴於“必然”、“相信”以及“知道”等概念的涵義。例如，根據埃徹門第的舉例，判定Bela ( φ)是否邏輯地推出堝x(x≠a∧Belx ( φ))，取決於φ 是否被唯一一個人相信。造成上述“不及”問題的原因主要在於，塔斯基提供的模型概念被認為是隻適用於外延性的語言，它無法為這些內涵性的概念提供恰當的刻畫，甚至按照外延性的標準，像“可能”這樣內涵性的概念根本不能被當作邏輯常項。因此，無論Φ→□Φ 還是□Φ→Φ，塔斯基的模型論定義都無法分辨其是否有效。

　　埃徹門第認為塔斯基的定義只侷限於使用外延性的模型，但他忽視了塔斯基的定義有兩個核心特徵：(1)強調邏輯後承的形式特徵;(2)強調保真性，確切地說是保模型性。無論哪一個特徵都適用於描述模態語言中的有效論證。塔斯基在定義中引入模型概念目的在於刻畫這兩個特徵，他並沒有將模型概念限定為外延的或內涵的。由於塔斯基考察的都是一階語言中的論證，所以他作為例子給出的模型都是外延性的，它直接由論域和物件序列構成，即R=。當刻畫命題語言中的論證時，模型RP的論域就是真值集合，而物件序列就是各個真值的有序排列;當刻畫謂詞語言中的論證時，模型RQ 的論域就是個體物件的集合，而物件序列就是物件的排列。模型概念同樣可以擴充套件到內涵性的語言。Gómez-Torrente 指出：“對這樣一種語言，存在某種關於模型和關於在模型中為真的標準的克里普克式的定義，因而就可將模型論的邏輯真定義為在所有模型中為真。”(Gómez-Torrente，2008，345)為了能夠刻畫必然概念，克里普克引入了可能世界和可及關係。於是，針對命題模態語言的模型被定義為三元組：RM=，其中W 是可能世界的集合，R哿W×W 是可及關係，V 是賦值，它是從原子語句集合到(W)的一個函式。如果原子語句的順序是p1，p2，…，pn，…，對於每個原子語句的賦值V(pi)就是一些可能世界的集合，令其為Wi哿W，那麼模型RM 則可以被寫為或者。這個標準的內涵性的模型除了比外延性的模型多了可及關係以及將論域理解為可能世界而非物件的集合之外，沒有其他本質的區別，它們都是模型，外延性的模型也可以看作是R 為空關係的情形。藉助可能世界的模型，命題模態語言中的邏輯後承以及邏輯真概念的定義則可以具體化為：命題模態語言的語句X 是由命題模態語言的語句集K 邏輯地得出的，當且僅當集合K 的每個標準的克里普克模型都是語句X 的標準的克里普克模型;命題模態語言的語句X 是邏輯地真的，當且僅當所有標準的克里普克模型都是X 的模型。信念邏輯、認知邏輯等都是模態邏輯的近親，適用於它們的模型都可以藉助對可能世界語義學的適當修改來刻畫。這些刻畫僅僅改變了模型的型別，而沒有改變塔斯基對於邏輯後承的定義，即沒有改變“形式的”和“保模型的”這兩個特徵。

　　四、概念分析的恰當性

　　透過對模型概念的討論，我們能夠發現，塔斯基的定義在外延的恰當性並沒有面臨什麼嚴重的問題。但是埃徹門第對這種定義依然不滿意，他認為即使上述塔斯基的定義在修正之後能夠避免上述反例，“修正後的說明依然遭受相同的概念性缺陷的困擾。它還是無法提供概念性的保障使得所有滿足定義的論證實際上是有效的”(Etchmendy，2008，273~274)。所謂的“概念性的錯誤”是指無法為論證的保真性提供概念性的保障。之所以無法做到，是因為塔斯基將邏輯後承關係(邏輯有效性)還原為了每個具體論證的後承關係(即具體的保真性)，即“如果相關的論證類中的每個論證都是保真的，一個論證就是邏輯上有效的”(Etchmendy，2008，265)。埃徹門第將塔斯基的定義稱為對邏輯後承和邏輯真概念的“還原性分析(reductive analysis)”，並論證說這種概念分析缺乏恰當性。

　　概念分析的不恰當性體現為：(1)真正有效的論證其保真性得不到獨立的保障(Etchmendy，1990，93)，“沒有對保真性的獨立保障，邏輯後承將會是一種完全鬆散的關係”(Etchmendy，2008，270)。如果一個論證的有效性在於它的前提和結論之間具有保真性，而這又取決於所有具有相同形式的具體論證都是保真的，那麼這就等於說一個論證自己需要為自己的保真性提供保障。顯然，這不是一個論證的有效性的真正的保障。(2)由於缺乏獨立的保障，這種概念性分析將使模型論的邏輯後承概念無法滿足人們的認知要求。也就是說，一個真正有效的論證，根據其前提的真實性，我們能夠預見結論的真實性，而且我們尋求有效論證的目的往往正是為了達到對結論的真實性的認知。還原性論證使得我們實現目的前就要認識到結論的真實性。埃徹門第還進一步地分析說，還原性分析的錯誤體現為“混淆了邏輯後承的外部特徵和它們的內在原因”(Etchmendy，2008，264)。具體有效的論證是邏輯後承關係的外部特徵，它之所以是有效的，還是因為它的前提和結論之間具有邏輯後承關係，導致它們具有邏輯後承關係的因素才是真正的內在原因。

　　埃徹門第的批評基於一個錯誤的觀念，即認為塔斯基的模型論定義是以真概念為基礎的，它“預設了一個語句在一個模型中或一個解釋中為真”(Etchmendy，1988，68;2008，265)。塔斯基實際上並沒有將任何邏輯性質“還原為關於真概念的良好理解”(Etchmendy，2008，265)。埃徹門第產生這種誤解很可能是受定義(F)的影響。在這個定義中，塔斯基的確將從語句集K 到語句X 的論證的邏輯有效性還原為K′到X′的保真性，但他已經因為非邏輯常項的不足問題而放棄了這種定義。就定義(S)或者(M)而言，真概念並沒有在定義中發揮作用。塔斯基繞過了真，而直接訴諸滿足①。從K 到X 的論證是不是邏輯有效的，取決於所有K 的模型是不是X 的模型，而這又取決於所有滿足語句函式集合K* 的序列是否滿足語句函式X*。嚴格來說，如果塔斯基的定義包含了某種概念性的還原，那麼情況也剛好與埃徹門第的看法相反，具體論證的保真性被還原為它的保模型性，最終又被還原為相應的論證形式的保滿足性。塔斯基的還原路徑圖示如下(令K 到X 的論證為KX，為還原關係)：

　　KX 的邏輯有效性KX 的保真性KX 的保模型性K*X* 的保滿足性

　　第一步還原是對通常的後承概念的直觀。按照這種直觀，塔斯基做了後面兩步的還原。由於塔斯基的定義關注的是論證的邏輯形式，為了明確一個論證是否邏輯有效，不是要考察別的具體論證，而是要將具體的論證轉變為論證形式。根據塔斯基的真之理論，只有語句才有意義因而才有真假，語句函式是沒有真假的，這樣一來就不可能存在埃徹門第所謂朝向具體論證的真實性的還原。埃徹門第認為塔斯基對邏輯後承以及邏輯真概念的還原性分析失敗了，而事實是，塔斯基的定義其實根本沒有采取埃徹門第所理解的那種還原。

　　五、結論

　　塔斯基對邏輯後承概念的定義奠定了模型論方法研究邏輯性質的基礎。雖然埃徹門第對模型論定義的外延恰當性和概念分析的恰當性提出了質疑，但本文也證明了塔斯基的定義與標準的模型論定義沒有本質的區別，它也考慮到論域的改變以及模型的不同型別，因此可以很好地處理“過度”和“不及”的問題。本文還證明了埃徹門第的批評乃是基於誤解。塔斯基的定義並沒有將邏輯後承概念還原為真概念而是將之還原為模型以及滿足概念，因而即使該定義是對邏輯後承概念的分析性還原，它也並非埃徹門第所指責的那種還原。塔斯基的定義是對邏輯後承概念的恰當刻畫。當然，還需要提醒的是，它的恰當性隱含一個預設，即人們關於通常的後承關係的直覺是，一個論證是有效的，當且僅當它是保真的。如果保真性的後承概念並非通常的後承關係的本質特徵，或者說，人們關於“邏輯後承”一詞的通常使用已經超出了保真性①，那麼塔斯基的定義就不再是恰當的。這時大概只能說：“塔斯基的通常概念雖不是某種普遍的、無所不包的後承概念，但它畢竟是清晰的，即是在公理理論中得到應用的概念”(Jané，2006，3)。如果我們承認塔斯基對通常的後承關係的描述，那麼塔斯基的定義就是邏輯後承概念的恰當刻畫。