材料力學類比教學方法論文
材料力學類比教學方法論文
摘要：透過類比的方法，總結材料力學的分析思路，統一表述軸向拉壓、扭轉和彎曲的應力計算的推導過程和公式形式。分析指出材料力學的強度、剛度和穩定性問題，每類問題可以進一步分成校核、截面設計和許可載荷問題，這些問題也具有統一的表述形式。
關鍵詞：材料力學；彈性力學；分析思路；類比思維
1引言
材料力學[1-2]是固體力學的一個分支，與彈性力學[3]相比，研究的構件侷限在杆件這一相對簡單的形式上，包括在載荷或溫度變化作用下杆件的強度、剛度和穩定性問題。材料力學是一門重要的技術基礎課，包括機械、土木、水利和交通等專業的學生都要求必須修讀。雖然大部分學生在中小學就學習了牛頓力學的基本常識，但是一般直到開始學習材料力學，才開始接觸力學中最重要的一些概念，比如應力和應變等。由於材料力學本身內容繁雜，概念抽象，對數學工具的應用要求較高，再加上力學課程的課時安排在很多高校中並不充裕，在實際的教學實踐中發現相當多的學生對這門課的掌握並不理想。筆者經過多年的教學實踐發現，學生如果在材料力學的學習中對各部分內容孤立地學習，那麼學習效率將會變得極其低下，往往會陷入大量抽象的知識點中，無法系統理解這門學科。實際上在整個力學體系中，材料力學相對而言是比較簡單的。這一簡單性主要體現在材料力學結構比較清晰，如果採用類比思維，將前後內容對照，會發現很多問題的概念、分析思路和公式等都是相似的。從這一角度出發，可以讓學生從一個更高的視角俯視材料力學課程。這就如一個人陷在迷宮中會無法自拔，迷失方向；如果能看到迷宮的全域性，那麼就會豁然開朗。這就是讓學生把書越讀越薄的方法。本文從材料力學分析思路和概念、問題型別以及公式等角度，詳細類比說明材料力學分析的框架結構。
2分析思路和概念的類比
材料力學引進了許多新的力學概念，如外力、內力、應力、變形和應變[1-2]。不同於彈性力學，材料力學處理的構件侷限在杆件這種一維結構。如同生物體，給予刺激就會有反應。外力相當於對杆件的刺激，其他的物理量則代表相應的反應，它們的關係如圖1所示。在材料力學中，外力包括主動載荷和約束力，往往是首先需要分析的。不同的外力對應不同的基本變形，例如：作用線與軸線重合的力引起軸向拉壓變形；作用面與杆件橫截面重合的力偶引起扭轉。外力的分析需要掌握理論力學靜力學的相關內容，並且將分析結果分解成各個基本變形對應的外力。外力分析完後，根據基本變形型別，都有相應的內力、應力、變形和應變。如圖1所示，第一個需要分析的就是內力。軸向拉壓、扭轉和彎曲的內力分別是軸力、扭矩和彎矩加剪力。這裡彎曲稍有特殊，它往往有兩個內力。內力都有約定的正方向，建議用截面法分析的時候，受力圖中的內力一律往正方向畫。這樣做的好處顯而易見：如果假設內力方向正確，內力符號就是正的；如果假設內力方向有誤，正好內力符號是負的，這就避免了糾纏於內力正負號問題，讓截面法平衡方程自然得出結果。各個內力都有相應的內力圖，集中載荷、分佈載荷對應的內力圖特徵都是相似的，比如軸向外力、集中扭轉外力偶、集中彎曲力偶和橫向力分別會使軸力圖、扭矩圖、彎矩圖和剪力圖不連續，突變大小等於相應集中外載荷。圖1顯示內力的獲得是對各種基本變形進一步分析的基礎。如果是強度分析，則需要計算應力。不同於彈性力學基於幾個基本假設利用嚴密的邏輯推導計算公式，材料力學往往藉助於簡化分析。在軸向拉壓、扭轉和彎曲中最重要的一個假設就是平截面假設。這一假設顧名思義，表示橫截面在杆件變形過程中始終保持為平面。不同的是：在軸線拉壓中橫截面保持平面，只是距離發生變化，橫截面上各處沿軸向的變形均勻分佈；在扭轉中橫截面保持為平面且繞軸線發生相對轉動，變形大小與到圓心的'距離成正比；在純彎曲中橫截面保持為平面且繞中性軸發生相對轉動，兩橫截面之間的縱向纖維的長度變化沿梁的高度線性變化。基於平截面假設獲得的變形分佈規律，進而藉助於材料均勻性假設，由物理關係可以知道應力的分佈規律，最終由靜力平衡關係得到應力計算公式。上述各個基本變形的應力推導思路是相似的，最終得到的應力計算公式也具有驚人的相似性，都可以表示為：應力=（橫截面上內力/橫截面幾何引數）×應力分佈引數。公式中各個基本變形所用的量見表1。橫截面內力在軸向拉壓、扭轉和彎曲中分別是軸力、扭矩和彎矩；橫截面幾何引數則分別是橫截面面積、極慣性矩和軸慣性矩；應力分佈引數分別是“1”、到圓心的距離和到中性軸的距離，分別代表應力的均勻分佈、與到圓心的距離成正比和沿梁的高度線性變化。如果是剛度分析，那麼圖1所示可以根據內力計算變形。這裡以等內力等截面為例，變形=橫截面內力×杆件長度/（材料引數×橫截面幾何性質）。如表1所示，對於軸向拉壓，變形是杆的長度變化，內力是軸力，材料引數是彈性模量，橫截面幾何性質則仍然是橫截面面積。對於扭轉，這些引數則分別是相對扭轉角、扭矩、切變模量和橫截面極慣性矩。彎曲變形相對複雜，變形的度量用撓度和轉角表示，載荷種類多，可以是彎曲力偶、橫向集中力和分佈載荷。不過，如果考慮等截面梁兩端加彎曲力偶的純彎曲，轉角=彎矩×杆件長度/（彈性模量×相對於中性軸的慣性矩）。
3問題型別的類比
材料力學主要解決三類問題：強度問題、剛度問題和穩定性問題[1-2]。強度是指杆件在外載荷作用下抵抗斷裂和過量塑性變形的能力。剛度是指杆件在外載荷作用下抵抗彈性變形的能力。穩定性在材料力學中範圍比彈性力學中的窄了很多，特指杆件在軸向壓力作用下保持其原有平衡狀態的能力。這三類問題反映了固體構件在外載荷作用下力學效能的三個不同的側面。這三類問題的計算公式大部分情況下可以統一表示為：橫截面內力/包含橫截面幾何性質的引數≤許可量。根據這一表達式，每一類問題進一步可以細分為校核、截面設計、許可載荷問題。校核問題就是驗證這一不等式是否成立，如果成立則表示相關問題型別安全，否則判定為不安全。這類問題的計算關鍵往往是確定危險截面的內力。截面設計問題則是根據這一不等式確定包含橫截面幾何性質的引數的最小值，進而給出截面尺寸的設計意見。許可載荷問題是利用該不等式算出橫截面內力的最大值，進而根據內力與外力的關係給出構件外載荷值的安全範圍。公式中的橫截面內力、包含橫截面幾何性質的引數和許可量，在軸向拉壓的強度問題中分別是軸力、橫截面面積和許可正應力；在扭轉的強度問題中則分別是扭矩、抗扭截面模量和許可切應力；在彎曲正應力強度問題中分別是彎矩、抗彎截面模量和許可彎曲正應力。在連線件的強度計算中，在擠壓問題中公式可以表述為：擠壓力/擠壓面面積≤許可擠壓應力。而剪下強度問題中則為：剪下力/剪切面面積≤許可切應力。在考慮扭轉的剛度問題時，公式中的橫截面內力、包含橫截面幾何性質的引數和許可量分別是扭矩、截面抗扭剛度和許可單位扭轉角，其中抗扭剛度=切邊模量×極慣性矩。在剛度問題中由於考慮彈性變形，相應的公式中往往有像切變模量之類的材料彈性常數。在截面設計時，透過抗扭剛度中的極慣性矩可以算出圓軸直徑。材料力學中的穩定性問題主要侷限在壓桿穩定性問題。在這部分內容中，大部分篇幅是關於臨界壓力和臨界應力的計算方面。臨界應力計算的前提是透過壓桿的柔度對杆件分類。柔度是一根壓桿的固有性質，綜合反映了壓桿的橫截面尺寸和長度以及杆端約束對壓桿穩定性的影響，一般情況下柔度越大，壓桿的穩定性越差。根據柔度，壓桿可以分為小柔度杆、中柔度杆和大柔度杆。不同種類杆之間的柔度分界取決於材料引數，比如大柔度壓桿的柔度下限取決於彈性模量和比例極限。小柔度壓桿的臨界應力就是屈服極限，這是材料的一個強度指標。從這個角度看，壓桿的臨界應力和屈服極限都是極限應力。前者主要透過比如理想中心受壓直杆的尤拉公式等計算獲得，後者則主要由軸向拉伸實驗得到。在強度問題中，許可應力=極限應力/強度安全係數；同樣，在穩定性問題中，可以定義穩定許可應力=臨界應力/穩定安全係數。由此，強度計算和穩定計算有了統一的形式：軸向壓力/橫截面面積≤許可應力。
4結語
本文將材料力學從整個學科出發，對不同部分進行類比說明，試圖給出一個新的角度理清材料力學的學習思路。學習材料力學不能孤立地學習零星的知識點，而是應該前後對照，將各部分內容有機地連為一體。首先，各個基本變形的分析都遵循由外力出發，然後計算內力，最後分為強度問題或剛度問題。軸向拉壓、扭轉和彎曲的應力計算公式都是基於平截面假設推導得到的，最終可以用一個統一的公式表示應力計算公式。同樣，剛度分析也可以獲得一個統一的表示式。材料力學分強度、剛度和穩定性問題，每一種問題可以進一步分成校核、截面設計和許可載荷三種題型。這些問題也具有統一的表述形式。教學實踐表明，透過類比的方法，把各處的知識點表述成統一的形式，可以有效地幫助學生深入理解材料力學的基本概念。
參考文獻
[1]劉鴻文.材料力學[M].5版.北京:高等教育出版社,2011.
[2]孫訓方.材料力學[M].5版.北京:高等教育出版社,2009.
[3]楊桂通.彈性力學簡明教程[M].2版.北京:清華大學出版社,2013:1-3.