在剷鬥鏟裝過程中對滿鬥率的數學模型的探討論文

　　1關於鏟裝過程的數學模型所提出的假設

　　工程問題到數學問題的轉變不可避免地涉及到部分條件的假設，以保證對物理過程進行定性描述的數學方程的精簡性，提出的假設要求必須對所研究的目標物理引數影響小。提出假設是為研究問題方便而做的工作準備，同時能提高求解智慧裝載機器人裝載效率最優解時的程式碼執行效率。對本研究所建立的數學模型作出以下假設。(1)物料的溼度較低，物料自身的黏著係數對滿鬥率影響很小。(2)剷鬥鏟入料堆過程中所受的阻力對滿鬥率無影響。(3)剷鬥鏟入料堆時為水平鏟入，且物料堆體積足夠大，物料平均塊度不能大於 10 mm。(4)剷鬥在提升過程中可被剷鬥影響的物料能全部落入剷鬥的空鬥區域。

　　2 裝載機鏟裝過程的數學模型

　　2. 1 裝載機裝載過程分析

　　裝載機剷鬥鏟裝物料過程中受力複雜，但是鏟裝的主要能耗集中在克服剷鬥鏟入阻力以及物料提升2 個階段，其中克服剷鬥鏟入阻力做功主要是將剷鬥前刃鏟入物料中，此時剷鬥內的物料為主動填充物料，剷鬥的滿鬥率大小和剷鬥鏟入物料的深度有很大的關係。剷鬥鏟入物料的過程是劇烈能耗的過程，由於裝載機本身功率大小的限制，通常在剷鬥鏟入一定深度後裝載機整車速度會降低為 0，此時裝載機無法繼續前行鏟挖，因此鏟入深度是一個限制裝載機效能的重要引數。裝載機剷鬥鏟入深度的大小受鏟挖物料種類的影響，低密度堆積物料的剷鬥鏟入深度要更大，高密度堆積物料的剷鬥鏟入深度更小。剷鬥在完成主動填充物料之後就是剷鬥提升階段，此階段進一步使部分可被剷鬥影響的剷鬥外物料旋轉落入剷鬥內，對滿鬥率起著至關重要的作用，此時落入的物料填充的區域為剷鬥作業時的空鬥區域。

　　2. 2 鏟裝過程的數學模型

　　剷鬥鏟裝物料的多少等於剷鬥在完成水平鏟入物料後已經入斗的物料量加上隨後剷鬥上升時影響並落入剷鬥的物料量之和。為建立裝入物料的數學模型，需要先以剷鬥側面的中間面為模型面，建立一個笛卡爾座標系，座標系原點取剷鬥側面的中間面上剷鬥鏟入物料堆的鏟入點，在鏟入物料的過程中，剷鬥為運動件，物料相對靜止。

　　當鏟入深度 d=0 mm 時，剷鬥與物料堆的相對位置。隨著鏟裝作業的進行，f 1 為剷鬥底面曲線函式，f 2 為剷鬥鬥面函式，f 3 為料堆中間面的物料堆的外形函式，鏟裝時剷鬥運動，即 f 1 、f 2 發生移動。圖 1 鏟裝過程的座標系建立Fig．1 Coordinate system of scoop process當 d≥0 時，引入引數 S t 、S e :S t 為中心面處剷鬥鏟入後可影響的剷鬥外的物料面積，S e 為中心面處剷鬥水平鏟入物料的空鬥面積，根據定積分的意義，可以將中心面處單獨區域的面積求解轉變成對變限積分求解。在建立 S t 數學模型的過程中，將料堆的外形函式視為靜態，鬥形函式視為動態，鏟裝的過程中 S t 便可以等效為變函式的定積分問題，由此可以得出 S t 的函式為S t = ∫dc( xtanα+ xtanβ － dtanβ) dx，(1)式中，d 為剷鬥水平鏟入深度，mm;c 為剷鬥鬥面與料堆交點的橫軸座標值，mm;α 為料堆自然安息角，(°); β 為剷鬥前角，(°)。為了方便建立剷鬥水平鏟入物料時空鬥面積的數學模型，需要對動態函式進行靜態處理和對剷鬥單獨取座標系變化，這樣可以將本來複雜的多函式移動轉變成單函式移動，這個過程便是將 f 1 和 f 2 視為已確定函式，f 3 為變函式，f 3 函式與縱軸截距的意義為剷鬥鏟入深度 d，

　　圖 2 剷鬥座標系變換Fig．2 Coordinate system transformation of bucket在完成對問題的簡化後便需要對 S e 的變化進行數學模型建立。透過圖 2 可知，中心面處剷鬥的空鬥面積 S e 的變化為分段函式，為此也需要在建立數學模型時進行分段處理。在已經變換好的座標系中，鬥形函式 f 1 和剷鬥鬥面函式 f 2 轉變為已確定函式，而f 3 函式為變函式，隨著鏟入深度的增加 S e 不斷減小，求解 S e 就變成了在變函式的條件下對函式圍成面積的求解。至此，便可以得出S e= S1－ ∫0α 1ytanπ2－ β( )－y － dtan α + β －π2( )??dy，0 ≤ d ＜槡200 3;S e = ∫0α 2r 2－ x槡2+ y1－ xtan α + βπ2( )－ d[ ]dx，d ≥槡200 3;式中，α 1 為料堆外形函式與剷鬥鬥形函式的交點在 y軸上的數值，mm;α 2 為料堆外形函式與剷鬥鬥底函式的交點在 x 軸上的數值，mm;r 為剷鬥鬥形曲率半徑，mm;y 1 為剷鬥鬥形曲率圓心所處的位置，mm; S 1為剷鬥側面面積，mm 2 。透過工程問題數學化的轉變，在鏟裝過程中中心面的表示函式所圍成面積的變限積分 S t 、S e 就已經得出，S t 、S e 是為解決滿鬥率問題所建立的初步的數學模型，也為接下來求解體積函式做好了前期準備。S t 、S e 函式的成功建立也是體積函式建立的必要前提，保證了函式的可解性。關於變限積分的面積函式的建立至此已經結束，接下來便是討論如何建立可行有效的體積函式。在考慮體積函式的問題時，需要再次轉換看待問題的角度，把平面問題實體化。根據對剷鬥和料堆的實際瞭解可以知道:如果以中心面為基準，剷鬥的物料體積函式 V e 便可以直接透過剷鬥面積與鬥長的乘積得到，對於剷鬥的空鬥面積也是類似的原理。至此體積函式 V e 便已經確定，但是體積函式 V t 還未確定。V t的相關量 S t 是一個較為複雜的變上下限積分，如果要求解 V t ，就要考慮到料堆的外形。已知的料堆外形可以近似地認為是圓錐體，V t 也可以看成是 S t 的旋轉體積，所以求解出 V t 函式的結果就是已知面積的旋轉體積的數值。透過對體積函式 V e 和 V t 的分析，可以得出 V e 和 V t 的函式V t =πarcsinl2r 1( )360°(dtanαr 1+ St )2－ (dtanαr 1 )2[ ] ，V e= lSe ，式中，l為剷鬥鬥長，mm;r 1 為剷鬥可影響的最高點對應的圓錐料堆的頂部圓錐底面圓半徑，mm。已得出的 V e 、V t 體積函式之比便是對通用鏟裝物理過程的.數學描述，得到數學模型後還需要就函式中某一相關因素對滿鬥率的影響進行討論，驗證數學模型的正確性。本研究之後便是利用已建立的數學模型就鏟入深度與滿鬥率之間的關係進行一次初步求解。

　　3 相關引數的選取

　　以廣西柳州工程機械股份有限公司的 Zl50 系列輪式裝載機的剷鬥資料為數學模型中的剷鬥引數依據，從而得出數學模型的求解結果。剷鬥底板尺寸 b x取 690 mm，剷鬥鬥長 l 為 2 970 mm，剷鬥側面鬥寬 b w取 1 200 mm，剷鬥前角 β 為 60°，剷鬥鬥底曲率半徑取600 mm。料堆為礦石料堆，自然安息角 α 為35° ，剷鬥鏟入料堆的水平面上的料堆面的半徑取 4 000 mm。

　　4 鏟裝過程的數學模型求解

　　取定相關引數後，鏟裝數學模型中剩餘未知量為1 個自變數和 2 個因變數，自變數為鏟入深度 d，因變數為物料體積函式 V e 和 V t 。在建立鏟裝過程的數學模型後，試探性地對剷鬥鏟入深度與滿鬥率之間的關係進行求解，主要是為了驗證鏟裝過程數學模型的有效性和對某一具體問題的可解性。因此，對於鏟裝數學模型的求解分為數學模型中的鬥形函式驗證和剷鬥物料填充率的最優解的求解兩大部分。其中鬥形函式的驗證為數學模型有效性的驗證，剷鬥物料填充率的最優解的求解為驗證數學模型的可解性。

　　4. 1 剷鬥數學模型的鬥形函式驗證

　　根據已建立的鏟裝過程的數學模型可知，鬥形函式為變限積分函式。為驗證建立的數學模型的有效性，需要利用 MATLAB 的函式視覺化處理，對比數學模型中的變限積分函式與實際鬥形是否基本符合。將相關引數輸入鏟裝過程的數學模型中的被積分函式，得出鬥形如圖 3 所示。圖 3 鬥形函式求解結果Fig．3 Ｒesults of solving bucket shape function

　　5 結論

　　本研究所建立的數學模型對工程實際有很強的適用性，可以利用該模型求解出各類引數的剷鬥在工作時的最佳鏟入深度，使得剷鬥的滿鬥率達到最大值，提高資源的利用率。也可將剷鬥外形函式設為求解目標，利用鏟裝過程中滿鬥率的數學模型最佳化剷鬥尺寸，如何利用鏟裝過程滿鬥率的數學模型對剷鬥引數最佳化設計，也是筆者正在探求的一個問題。此外，如果料堆的安息角與重力加速度之間的數學關係能夠明確，鏟裝過程的數學模型可用於討論不同重力下的鏟裝機理。本研究所建立的剷鬥裝載過程的數學模型也可用於智慧裝載機器人裝載過程的主動求解最佳化，在不同的情況下求解出最優的鏟入深度，提高工作效率，降低能耗。