極限理論教學中學生辯證思維的培養論文
極限理論教學中學生辯證思維的培養論文
1引言
極限不是數學分析課程的核心研究物件，但是它屬於數學分析中研究函式性質的奠基工程，換句話，它是數學分析課程的理論基礎，在數學分析中處於十分重要的地位，正如國外學者所言“極限是正確理解微積分和發展數學思維的最基本的數學概念之一.”因此，正確理解極限的概念並學會用極限理論分析、解決相關問題就顯得尤為重要.徐利治先生在課堂上引入極限概念時，常用李白的《送孟浩然之廣陵》詩“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州，孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流.”讓學生體會一個變數(孤帆)趨向於零(碧空盡)的動態意境.但是，如何才能讓學生準確理解極限定義的真諦，實踐證明，只靠形象思維是不夠的，還需要在極限教學中引入辯證思維方式，才能深入探索抽象的極限概念及相關理論.
辯證思維強調辨析、證明，強調根據客觀事物自身的辯證本質進行思維與分析，認為人們可以透過概念、判斷、推理等思維形式對客觀事物辯證發展的過程做出正確地反映，實際也就是對客觀事物辯證法的反映.辯證思維最基本的特點是將研究物件作為一個整體，從其內在矛盾的運動、變化及各個方面的相互聯絡中進行考察，以便從本質上系統地、完整地認識其物件.人類思維的發展，一般都是由形象思維到抽象思維，再由抽象思維到辯證思維.可見，辯證思維是最高形式的思維運動，辯證思維方法是最高層次的科學方法.客觀上，辯證思維就是在辯證唯物主義基礎上，吸收了現代自然科學、社會科學研究方法的積極成果而形成的一種當代最科學的思維方式.研究並掌握這種思維方式，進而學會自覺地運用這種思維方式分析解決問題，對指導人們的實踐活動具有十分重要的意義.數學分析課程基本內容的學習與運用也不例外.
之所以辯證思維對人們有如此大的作用，就在於辯證思維是用全面的、聯絡的、發展的觀點看世界，它從不同角度揭示了自然、社會和人類思維發展的一般規律.數學理論的產生和發展正符合辯證法闡述的事物發展的一般規律.恩格斯在《自然辯證法》中說:“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了.”由此，可得出辨證思維是微積分理論的一大支柱，與極限理論二者是緊密相連的，辯證法為極限理論的研究提供了良好的世界觀與方法論，對學生世界觀的形成和方法論意識的建立有著非常重要的意義.
2學生在極限理論學習中容易產生誤解的現狀及歸因
學生對極限概念的理解學習一直是數學分析教學的一個重要難題，教學中發現有相當多的學生對極限概念的理解首先容易產生誤解，進而影響到後繼內容的學習.具體來說，不僅影響對極限概念本身的理解，而且也影響對函式連續、可微以及無窮級數等的理解.因此，筆者結合自己極限理論教學實踐中對辯證思維的應用，對極限定義進行剖析，力求抽絲剝繭，層層推進，讓學生明白極限定義的抽象性，同時對極限理論中所隱含的辯證思維加以總結分析，旨在提高數學分析課堂教學的效率.
2.1學生在極限內容學習中容易產生誤解的現狀
數學分析具有高度的抽象性和邏輯性，並且數學分析的教學注重理論的完整性、知識的系統性和推理的嚴謹性，這樣長期以來的學習環境，使得一些學生態度上往往產生畏難情緒，主要表現在以下方面.
2.1.1學習極限內容的思維方法傳統
有較多的學生從思想上認為，學習數學就是靠教師教好，教師教得好，學生才能學得好，因此，學習數學的參與精神欠缺，這種情況多發生在一些剛入大學的新生在學習數學分析時，遭遇的第一難關就是極限的概念，學生在學習時總是感到雲裡霧裡，不知所以然，特別是學生對極限的“ε-N”定義中的任意給定的ε的任意性與給定性迷惑不解，正是由於對極限概念的無法理解，造成了用概念證明數列的斂散性及收斂數列性質的障礙.
2.1.2學習極限內容的態度被動
學習極限內容的態度被動表現在，課堂上常常習慣於教師講，學生聽，缺乏主動學習的積極性.感到極限內容難學、乏味.加之客觀上有較多學生的邏輯思維能力和推理能力較差，學習積極性不夠，自學鑽研精神不強等，各方面原因使得學生對這門課程產生了恐懼心理，具體來說，學生學習中碰到的第二個突出的難題，即是分不清潛無限與有限的區別，常常把潛無限看成有限，因此在計算此類問題的極限時，錯誤不斷.
2.1.3分析、解決數學極限問題的能力甚差
由於以上問題的存在，使得一些學生平時學習被動，對極限概念的不理解也造成後續學習導數、積分、級數等概念時的極大困擾.長期問題累積，不求甚解，常常滿足於完成必須做的作業，很少就這個方面的相關問題展開討論、爭論等，從而導致分析、解決數學極限問題的能力甚差.以至於在考試中此類問題的出錯率過高.
2.2學生在極限內容學習中形成誤解的歸因
2.2.1過時的思維方法的影響
過時的、傳統的思維方法與學習方法的影響，這是導致問題出現最主要的一個原因.十多年中小學教學雖然經過教育改革，整體上變化很大，但是傳統的教師教，學生學單向資訊傳遞的教學方法仍然存在.至今一些數學課堂上的教學，有的教師仍然採用的是靜止的、固定的觀點來分析研究問題，必然對學生造成一定程度的消極影響.進入大學後各方面的適應需要一個過程，加之數學分析課研究的是變數數學，採用的是運動的、變化的觀點來研究問題，由於學生在中小學所形成的學習思維方法是直觀的、靜止的，因而在大學開始接觸數學分析這類變化的新的知識體系時，就顯得慌亂不堪，茫然無措.
2.2.2未形成科學的學習態度
科學的態度是科學素養的重要內容，形成科學的態度，對於學生熱愛科學、積極投入科學學習過程發揮著很大的動力作用.剛入大學的新學生在知識結構方面有著重大缺陷，主要表現在中學生缺少辯證思維的系統知識，相對缺少對邏輯系統知識的掌握，同時中學數學很少涉及數學史知識，這樣就讓學生理解極限概念有了諸多不便和障礙.
2.2.3正確的學習動機未能及時強化
學習動機是推動學生學習的內部動力.大一新學生的數學思維能力方面存在一定差距，有待提高和昇華.主要表現在新學生在直觀和形象思維能力上表現出優勢，比如對幾何意義的理解就很充分.但是，對抽象概念的理解和思維能力就相對欠缺，比如對極限概念的理解.諸多缺陷，需要數學分析教師想辦法在新的教學過程中，有意識、有步驟、有計劃地幫助學生完成思維方法的轉變，提高學生的思維能力，擴大和完善學生的知識面，促進新學生數學辯證思維的形成.
3培養學生學會辯證思維的極限理論教學新策略
以上問題的存在，如不及時予以解決，任其長期發展，必然直接影響學生其它一些專業課程的學習，甚至帶來其它方面意想不到的消極影響.只有客觀面對現實，在分析原因的'基礎上，針對性採取積極的糾正措施，師生團結一致，現存的問題才會逐漸得以消解，也才能把提高教育教學質量放在可靠的基礎上.為此，我們要創造條件，堅持以學生為主體，師生互動，在培養學生學會辯證思維上狠下功夫，結合數學極限理論教學的實際，具體提出以下積極的教學策略.
3.1建立極限概念內部及與其它知識的關聯，培養學生髮散思維的能力
辯證思維最重要的就是建立起來事物都是普遍聯絡的觀念.普遍聯絡的觀點廣泛地存在於數學分析理論中，微積分的概念是建立在極限概念的基礎上.即導數與積分的概念都是由極限的定義來定義的，級數是部分和數列的極限問題，歸結原則把離散問題與連續問題聯絡起來，考慮在求極限時把離散的問題利用歸結原則變為連續問題利用羅比達法則來解決.定積分的定義也為求數列的極限提供了有效的方法，建立了離散問題與連續問題的關聯.甚至當把兩種表面上看似無關的數學知識聯絡起來時，會產生奇蹟.例如，狄利克雷函式為非初等函式，開始以分段函式的形式出現，學了極限理論後，利用累次極限這個工具把沒有任何關係的非初等函式與餘弦函式聯絡起來，既豐富了非初等函式的表達形式，又讓狄利克雷函式以新的面貌出現，為進一步研究狄利克雷函式的性質奠定了基礎.再如，數列極限″ε-N″定義利用不等式工具把n→∞與an→a刻畫的既準確又簡明，在定義中用ε來刻畫數列{an}接近與a的程度，透過|an-a|<ε不等式把它們聯絡在一起，用n來刻畫n趨於∞的程度，透過n>N來體現，N依賴於ε但不由ε唯一確定，有時表示為N(ε)，它們相互制約，相互聯絡在一起.這些正是辯證思維聯絡理論在極限定義中的滲透，使得極限定義成為一個不可分離的有機整體.正如德國數學家希爾伯特所說:“數學是一個有機體，它的生命力的一個必要條件是所有各部分的不可分離的結合”.可見，建立極限概念內部及與其它知識的關聯，培養學生髮散思維的能力很重要.教師應該創造條件，將教知識與學習方法有機地結合起來.
3.2揭示極限概念中對立統一，培養學生辯證思維的能力
對立統一規律揭示了事物發展的源泉和動力，矛盾對立面的同一和鬥爭推動著事物的發展.極限概念中含有互相矛盾的雙方，它們既對立又統一構成這種理論存在和發展的前提.無限與有限是一對矛盾，無限不能脫離有限而存在，沒有有限也就沒有無限，因此定量地描述無限，總藉助一系列無限多個定數來完成.在limn→∞an=a的定義中，透過形式看實質不難看出，凡變數極限過程，都是具有潛無限與實無限雙重性質的變數趨向極限的過程.極限過程的體現是透過數學表示式對於ε>0，鯪∈N+，當n>N時有|an-a|<ε來刻畫的.從表示式來看任意(ε)與存在()是一對矛盾，從整個過程來說正數ε是任意變化的變數，但從過程的每個瞬間來說正數ε是固定的常量，從區域性與整體的關係來看，它們的對立既體現在區域性的有限性與整體的無限性，又體現在過程的動態性與瞬間的靜態性，正是正數ε的雙重性把極限概念中的兩個無限刻畫的淋漓盡致，這就使人們可以用不等式的方法解決極限的存在問題，並使抽象的極限問題符號化，正是“有限”與“無限”的對立統一構成了極限概念存在和發展的基礎.我們還注意到，在極限理論中，無窮小量是一種特殊的變數，它在變化過程中不等於零(只考慮除“0”外的一般無窮小量)，但它的變化趨勢卻是零，或者可以說，它在變化的過程中不等於零，但作為變化的結果，它卻等於零.這個性質具體而且生動地說明了無窮小量具有零與非零的辨證性質.由此，在教學中逐步樹立起學生的對立統一觀念，形成辯證思維的核心.
3.3探索極限理論中的量變質變，培養學生的複合思維能力
恩格斯指出:“純粹的量的分割是有一個極限的，到了這個極限它就轉化為質的差別了.”量變質變規律指出了量變、質變是事物運動變化的兩種最基本狀態，事物的發展變化都表現為由量變到質變，再由質變引起新的量變的反覆過程.極限理論中體現著量變質變規律.一方面，極限中概念的存在都有著特定的量的界限，如果量變超出了這個界限，就會發生質變，形成另一種概念，這種新概念又存在著自己特有的新的量變.非常著名的Wallis公式十分明顯地體現量變質變規律.從等式來看，數列中的每一項都為有理數，隨著量由有限到無限的轉變，性質卻發生了質的變化，即極限值卻為無理數，同時也建立了整數n與無理數π之間的一種不尋常的關係.
透過這個事例告訴我們，數學極限理論知識雖然抽象，但是教師的教學方法很重要.如何讓數學基礎知識不太好的學生既學到數學極限知識，又逐漸學會運用數學極限知識.面對這個難題，要求教師善於把抽象、繁瑣的理論知識直觀化、簡單化、明白化，形象化，便於讓學生接受.
3.4研討極限理論中否定之否定，培養學生創新思維的能力
否定之否定規律揭示了事物自己發展自己的完整過程是:經歷兩次否定、三個階段，即由肯定達到對自身的否定，並再由否定進到新的肯定——否定之否定.每一個數學理論的發展都符合否定之否定規律.在理論最初形成時，該理論得到肯定;隨著實踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來並被否定;進而數學家們開始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結論，達到新的肯定.文獻指出:“每一種事物都有它的特殊的否定形式，經過這樣的否定，它同時就獲得發展，每一種觀念和概念都是如此.”無窮小理論的發展體現了否定之否定的辯證思維規律，牛頓、萊布尼茲在建立微積分理論的基礎是無窮小量，無窮小量一開始不即是零(因可用無窮小量除)卻又等於零(忽略不計)，這樣把無窮小量“召之即來，揮之即去”的做法，在十八世紀引起了爭論，對於無窮小量所帶來的數學本身非邏輯非嚴謹性的問題，那些曾具體從事微積分研究的數學家們早就有過這樣或那樣的思考，在他們之間並展開過激烈的討論和爭論，稱它是“逝去的靈魂”，無窮小量忽略不計是暴力鎮壓等.雖然它們不是用任何一種數學方法或邏輯方法推匯出來的、不夠完備，但它們卻有強大的生命力.正如馬克思所評論的“這是人間純粹實驗地發現的.”這種不能自圓其說的無窮小量，遭到了十八世紀中期的英國大主教貝克萊初步的否定，進而建立了極限理論，用潛無窮小量取代了實無窮小量，實無窮小量遭到了徹底的否定.然而極限理論雖然使微積分的表述嚴格化了，但是仍存在缺陷，即不具備實無窮小量的簡易性和生動性，又僅僅是個驗證方法，因而又出現了對潛無窮小量的否定，也就是對實無限小量否定的否定.一九六零年，美國耶魯大學數理邏輯學家A.Robinson運用現代數理邏輯的方法和新成果，第一次成功地證明了實無窮小量的存在性，從而使牛頓、萊布尼茲時代的無窮小量重返數壇，從哲學的角度看無窮小量獲得了新生，經過否定之否定後的實無窮小量發展了，提高了，完善了.由此帶來學生知識面的擴充，增加了學生學習新知識的興趣，進而完成學生思維能力的轉變和提升.
綜上所述，數學教學不僅傳授給學生數學知識和能力，更重要的是教給學生數學思維與方法，特別是辯證的思維及方法，進而提高數學素質，促進學生全面發展.結合數學極限理論的教學來說，只有將辯證思維方法的分析過程滲透於具體數學知識、技能的教學之中去，才能使學生真正看到辯證思維的魅力，並使學生真正地理解、掌握極限知識的內涵，並將其思想加以推廣到所有微積分的知識學習中去.只要教師在極限理論教學中有意識、有步驟地貫穿辯證思維，堅持教學互動，堅持以學生為中心，就會促進學生髮展.例如對新學生學習極限理論，首先幫助他們形成新的觀念，養成新的思維習慣很重要.進而有計劃地完善他們的學習結構，提高思維能力，提高分析、解決實際問題的能力將有著非常重大的意義和積極作用.這也使得我們從中進一步認識到了哲學與數學的辨證關係，教師可以透過教學深化馬克思主義的科學的思維方法，把數學分析課“講活”、“講透”、“講深”，讓學生們能夠“聽懂”、“學會”、“成長”，在課堂上能享受到辯證思維帶來的樂趣，最終達到提高教學效率的目的，高質量完成教書育人的終極任務。