淺談數學方法論在數學教學中的實踐論文
淺談數學方法論在數學教學中的實踐論文
摘要：數學思想方法是對數學本質的認識，是數學知識的精髓。新課程下注重、加強數學思想方法教學是培養學生數學素養，形成良好思維品質的關鍵。而數學方法論給教師在數學教學中提供了理論指導，透過對它的學習有利於教師由“經驗型教學”轉向“理論指導下的自覺實踐”，以數學思維方法的分析去帶動和促進具體數學知識內容的教學。
關鍵詞：數學方法論思想方法數學教學
數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創造等法則的一門新興學科。①數學方法論很大程度上可以被說成對於數學思想（維）方法的研究，其目標就是幫助人們學會數學的思維。或者說，如何能夠按照數學家的思維模式去進行思維。透過對具體數學事例的研究實現對真實思維過程的“理性重建”，獲得各個方法論原則的深刻體會，並使之真正成為“可以理解的”“可以學到手的”和“能夠加以推廣應用的”。數學方法論對於數學教學的積極意義主要在於：以數學方法論為指導進行具體數學知識內容的教學有助於我們將數學課“講活”“講懂”“講深”。②
1問題的提出
隨著課程改革的進行，對於我們數學教學也提出了更高的要求。《全日制義務教育數學課程標準（試驗稿）》在總體目標重明確要求學生能夠“獲得適應未來社會和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學思想方法、數學活動經驗）以及基本的數學思想法和必要的應用技能。”在基本理念中，也要求學生“真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法……”③顯然數學思想方法是數學教學目標的核心內容。因此，日常的數學教學中加強數學思想方法的滲透，培養數學的思維顯得更加重要。首先，只有培養起比較完善的數學思想與數學方法，才能有利於提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，有利於激發學生的學習興趣，有利於提高學生學習的自覺性，才能把學生和教師從題海中解放出來，減輕教與學的過重負擔。其次，數學是一個龐大的、有秩序的系統，對於從事初中數學教學的教師來講，必須對數學的本質和方法有一個深入、全面的理解。這種對於數學的理解會影響到一個人的數學教學實踐，進而影響到學生關於數學的理解、學習態度和應用等觀念的形成。由此可見，無論從學生數學素養的培養方面和教師教學實踐方面都需要教師精通數學方法論，只有熟知了這些方法論才能開展有效的數學課堂教學。
2數學方法論對數學教學的意義
2．1數學課程目標改革的必然要求
目前數學課程改革，強調情感、態度、價值觀，強調數學學習的“過程與方法”，強調探究與發現。在這種理念下，要使數學新課程改得以有效的實施，教師就必須加強和重視數學方法的學習和研究，只有掌握了數學方法論的教師，才能培養出具有創新能力的學生。一位老師曾說過這樣一句話：“教師走多遠，你的學生就能走多遠。”如果沒有一雙明亮的眼睛，看不清前面的道路，是無法走得長遠的，而數學方法論會幫我們擦亮數學智慧的眼睛。如果沒有這方面的知識儲備和良好的專業訓練，將很難適應今天的數學課程改革。數學新課改的成敗，關鍵在於教師。
2．2數學課堂教學現代化的改革要求
現在的數學課堂不在是單純的“傳授式”教學，在新課標中明確指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。”③意在進一步改變數學的教學模式，拓寬學生在數學教學活動中的空間，關注學生數學素養的提高。而且把“具有解決問題的能力”作為有“數學素養”的一個重要的標誌。而數學方法論在教學實踐中以“問題解決”為中心組織教學，強調“數學的思維”，把問題作為載體，將數學思維方法的分析滲透到具體數學知識內容的教學中，使學生真正看到思維的力量，並使之成為可以理解的、可以學到手的和能夠加以推廣應用的。這一教學理論為我們從更深的層次認識數學教學提供了理論依據，值得我們去深入學習研究。因此，為了讓教師更好適應和駕馭課堂教學，必須掌握一定的數學方法論。
2．3數學教師專業化發展的客觀要求
數學教師的專業發展，不僅要掌握深厚廣博的數學基礎，而且要了解數學發展的學科歷史，掌握數學的思想方法，深刻領會數學的內在本質，理解數學的源與流，懂得其來龍去脈及數學的價值。對於從事數學教學的教師，不能不懂得數學發現的原理、規則和思想方法，它們能使我們在數學教學中更好地駕馭教材，把數學教學變得更為生動，教出方法、教出發現、教出創新。因此，數學方法論是數學教師專業發展及自身成長的必備知識。
3數學方法論在數學教學中的實踐案例
在數學方法論中，重點闡述了觀察、聯想、嘗試、試驗、歸納猜想、類比推廣、模擬、化歸、公理化方法、數學悖論等數學論證方法，數學與物理方法，數學智力的開發與創新意識的培養等。如果把這些理論和我們的實踐教學活動聯絡起來將使我們的數學課更加有數學味，幫助學生領會內在的數學思想方法，認識數學的本質特徵和應用價值。
3．1數學方法論在解題教學中應用
必要的知識與知識的良好的組織是數學方法論中提及的四要素之一。記得數學大師波利亞曾說過：“良好的組織使得所提供的知識易於用上，這甚至可能比知識的廣泛性更為重要。至少在有些情況下，知識太多可能反而成了累贅，可能會妨礙解題者看出一條簡單的途徑，而良好的組織則有利而無弊。”例如現在的初三複習很大程度上是透過解題教學來實現知識鞏固，同時題目的綜合性較強，需要學生對於題目有一個很好的認識。在教學中通常會碰到學生對於這類題目會無從下手，或解決問題的信心不夠等現象。當然這裡有學生對於題目理解上的原因，關鍵還是他們沒有把自己的經驗和知識良好的組織起來，必要的反思把知識方法歸類。對於初三的學生知識容量應該是夠的，但是他們的知識倉庫比較零亂，當需要去解決某些問題的時候往往找不到對應的“工具”。所以在初三複習中的重點我們不是多講幾個題目、多做幾個練習，而應透過典型例題理清知識體系，最佳化知識結構。
為了讓學生能形成良好的知識結構，教師在問題解決過程中應更多的暴露思維過程，透過問題的合理設定啟用學生原有的知識經驗，啟發他們形成新的理解、新的認識。因此數學課堂教學有效開展離不開教師的合理引導，教學中突出以問題為主線，啟迪學生思考，使學生在課堂中深刻的感受如何發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個過程，理解和認識發生和發展的必然的因果關係，從而領悟到分析、思考和解決問題的數學思想方法，最終內化為自身知識結構的重要部分。
案例1這是我在複習課上講的一道習題。
如圖所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90？SPAN，AC=8，BC=6。沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個三角形（如圖2所示）。將紙片沿直線D2B（AB）方向平移（點AD1D2B始終在同一直線上），當點D1於點B重合時，停止平移。在平移過程中，C1D1與BC2交於點E，AC1與C2D2、BC2分別交於點F、P。
（1）當平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的D1E與D2F的數量關係，並證明你的猜想；
（2）設D2D1平移距離為x，與重疊部分面積為y，請寫出y與x的函式關係式，以及自變數的取值範圍；
（3）對於（2）中的結論是否存在這樣的的值；若不存在，請說明理由。
本例的難點是問題（2），很多同學都思路受阻，如何去表示這個陰影面積呢？因此教學中設定了以下問題引導學生去分析、解決問題。
（1）看清問題
問1：不規則圖形的面積計算，通常用什麼方法？
生1：（有所悟）割補法，轉化為規則的圖形。
問2：這裡有沒有熟悉可計算的圖形？
生2：三角形
問3：如何表示這些三角形的面積？還記得三角形面積的計算的方法嗎？
這樣的問題，思維指向清晰，又明確的教學目標，確定陰影面積y應該如何表示。當然這裡“結果”啟發式的問題沿著教師事先設定好的“軌跡”前進，缺少了一定的開放性，但關鍵要看這樣的“問”是否調動學生參與的積極性，是否符合學生的認知水平，同時要注意問題的層次性，有易到難，前兩個問題的設定有助於增強學生解題的信心。問3在此題解決中起到關鍵作用，學生剛開始腦海裡還沒合適的求三角形面積的方法，容易聯想到最熟悉的公式。
問4：這些三角形的底能表示嗎？高能表示嗎？
生4：底比較容易分別是，高比較麻煩？
（2）繞過障礙
問5：我們不求高可否直接求三角形的面積？你有好方法嗎？
生：三角形的面積計算通常用的方法還可以利用相似三角形的性質相似比的平方等於面積比。
此問引起學生認知上衝突而促進他們更深入進行思考，引導他們從知識倉庫中提取用的東西，從而產生一個好的思路。把求不規則圖形的問題劃歸為學生熟悉的求三角形問題，有利學生調動頭腦中儲存的關於這類問題的各種知識。同時概括了三角形面積計算的三種方法，涉及了相似，解直角三角形等有關知識點，把原來相對孤立的知識點有效的串連起來，最佳化學生的知識體系。
（3）解決問題
帶引數的問題，通常把給定引數作為已知量運用如本題中的，表示出所需的未知量，特別注意其中相等的量。引導學生找到對應的相似三角形，儘可能多的表示出相關的線段。
這一環節學生順著教師預設的“軌跡”到達了目的地，在這一過程中學生的知識結構得到了完善，使得他們透過對題目的重新認識，有了自己的思考和領悟。
（4）回到起點
題目解完後是否真正解決了這個問題呢？首先，在問題解決過程中學生的“疑”和教師假想的“疑”並不一定完全吻合，透過問題的回顧可對教學進行調整和最佳化。其次，學生的解題過程是在教師的“安排”下進行，思維有很大的直覺性和依賴性，可能顧及不到對自己思維過程進行分析、整理。所以解完後的總結反思就非常的必要。正是對於解題總結的重要性的認識，波利亞指出：“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。透過考察他的工作過程和最後的解答形式。他會發現要觀察認識的東西真是千變萬化，層出不窮。”④
問6：解完後你對題目有沒有新的發現和想法。
生5：透過上面的解答我發現利用相似比可求出三角形的高，公式也可行。
生6：Rt的三邊之比非常特殊3：4：5，因此與它相似的.三角形都可以利用這一特性來計算，如Rt的面積都可以利用這一特性簡化計算。
生7：我發現剛才在計算可以把它們拼在一起就是一個Rt（E和F重合），而且它與Rt相似，因此利用相似比和麵積比的關係計算出它們的面積。
生5，生6是在回顧解法後進一步理解了相似在求線段和麵積的作用提出的一個解法，原先的障礙得到了解決，而生7是打破了原有思路的的束縛有了更為巧妙的解法，抓住不規則圖形求面積的“割補”的原理。這是我沒有想到的，有了他的啟發下面的學生也有了更多的精彩的解答。
生10：有了他的啟發Rt的面積可以這樣求，因為，用上面的方法可以求出=，所以
割補方式的不同可以產生不同的方法，目的是把不規則圖形轉化為規則圖形。生8把其轉化為平行四邊形是一個突破，而生8，生9則充分挖掘了平行四邊形的特性，利用等底等高的面積轉化方式非常巧妙，計算簡便。
這節課雖然我只完成了一道例題但是學生給出了很多好的想法和思路是我沒想到的，也給了我很多啟發。教師在教學中如果能很好的抓住數學本質，以此為問題的載體，調動學生原有的認知，那麼學生則會產生更多智慧的火花。教師在教學中不僅應使學生掌握具體的數學知識，而且也應幫助學生學會領會內在的思維方法。
3．2數學方法論在概念教學中應用
每一個概念的產生，都是由於知識體系擴充的需要。在教學過程中，要讓學生明白為什麼要產生這個概念，它有什麼意義，這個概念的產生是為了解決什麼問題。讓學生理解概念產生的必要性。例如，在數系的擴充過程中，為什麼要引入負數？我們可以這樣解釋：為了表示相反意義的量，向東走10米記為+10米，則向西走5米記為—5米。或者說是運算的需要4—7不夠減，則引入負數得4—7=—3。後來有理數也不能滿足需要了，在解方程X2=2就沒有有理數解，但它的解卻是客觀存在的，正方形的對角線長與邊長之比就是這個方程的解，但這個比不能用有理數表示，因此就添入無理數，這促使數的範圍擴大到全體實數。同樣，為什麼要規定i2=—1？它也是有實際背景的。當n為正整數時，方程，當時總有解，但是當a0沒有解。即使x2=—1這樣簡單的方程也沒有解，一1沒有平方根。這啟發我們對數系作再一次的擴充，從而引入i2=—1，形成複數系。
概念的形成有兩種途徑：一種是直接從客觀事物的空間形式或數量關係的反映而得到的，另一種是在已有數學概念的基礎上，經過多層次的抽象概括而成。在教學過程中，要擅於啟發學生去發現、探究新概念，提高學生學習數學的興趣。而概念的形成本身有著一定的發展過程，凝聚著前人探索的智慧。我們不可能重複歷史的“原始創造”，而應根據學生自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造出有關的數學知識，這對學生理解概念非常有意義的。一位數學家說過：“一堆沒有親身體驗和視覺形象所支援的概念、定義不能開發智力，而只能關閉思路。”在概念再創造過程種，應對學生的思維給予暴露的機會，充分經歷概念形成的兩個階段，從具體到抽象，再從抽象到具體，有利於學生對概念的自我意識和自我反省。
案例2在浙教版七年級圖形的初步知識7。2節中，直線公理：經過兩點有且僅有一條直線。即兩點確定一條直線。這對於學生來說比較抽象，特別是“有且僅有”這裡包含了存在性和唯一性兩層含義。為了讓學生理解這條公理，我設計了一個學生活動環節：
首先隨機請一位學生甲起立，要求與學生甲在同一直線的學生也起立。剛開始只有學生甲周圍的其他人起立，突然一位學生說：“全班起立！”，頓時所有的學生都起來了。學生髮現大家都和站起的那位學生在同一直線。這一活動讓學生體驗了一點無法確定一條直線，而是有無數條，因為任何一名學生與學生甲都能構成一條直線。然後我隨機的教了兩位學生乙、丙，要求和他們在同一直線的學生起立。這時學生髮現無論這兩位同學在哪個位子，站起的學生都只有一列。從而在活動中讓學生真正體驗了“兩點確定一條直線”的含義，學生親身經歷了概念的“理性重建”對它的理解將會更加的深刻，何謂“有且僅有”也形成了學生自己的經驗體會。概念是從生活中抽象而來，同樣概念也運用於實際。最後環節要求學生找找生活中運用直線公理的例子，從而加深、豐富和鞏固學生對數學概念的掌握和應用。
3．3數學方法論對提升學生數學素養的作用
數學是一門使人創造性思維嚴格化和理論體系嚴謹化的科學。數學方法論強呼叫演繹與推理的理念，來論證概念間轉換的恆等變化，從中體現準確、簡潔地揭示有條件到結論嚴密的邏輯關係。②而缺乏演繹與推理的人，會犯“想當然”的錯誤。在初一起始教育的第一節課中我舉了一個簡單的例子來說明問題。
案例3假設我們可以沿地球赤道緊緊地拉一根繩子，打上結，此時，繩子長度與赤道相等。然後把繩子剪開，加長10米，這樣繩子已不緊扣在赤道上，產生了縫隙，問該分析有多少大？
如果光憑想象去猜測，很多學生會想：赤道這麼長，加長10米算不了什麼，恐怕伸一隻手過去都困難，似乎只能塞一張紙過去，差不多可以忽略不計，那麼，縫隙到底有多少大，我們不妨計算一下。
解：設地球赤道為L，地球的半徑為R，縫隙為a
實際情況讓學生大吃一驚，縫隙居然有1。59米，大多說學生都可以從縫隙中走過。做事如此，做事也是如此。數學教育能培養正確的認知態度，使主觀想象符合客觀實際，培養學生嚴謹求實的個性品質。演繹與推理的理念，使人克服想當然的錯誤，正確認識自己，正確認識世界，這是學生走向社會的必備素質。
同時數學方法論在教學中特別指出數學史的重要性。著名數學家克萊因認為“數學史是教學的指南”。歷史能揭示出數學知識的顯示、來源與應用，它不僅告訴我們數學知識當時如何出現在人們頭腦中的——即如何產生的。例如直角座標系的建立，在代數和幾何上架起了一座橋粱，它使幾何概念用數來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示。可以向學生介紹數學家笛卡爾創造它的過程。據說有一天，法國哲學家、數學家笛卡爾生病臥床，病情很重，儘管如此他還反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來。他苦苦思索，拼命琢磨，透過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯絡起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗……。這不僅可以活躍課堂教學，激發學生的學習興趣，還可以拓寬學生的視野，培養學生全方位的思維能力。在這個過程也能讓學生明白任何一項成就都需要付出艱辛的努力。引導學生正確看待學習過程中遇到的困難、挫折和失敗，樹立學好數學的信心，培養刻苦專研的學習態度。
4數學方法論在教學實踐中注意的問題
數學方法論是一門實踐性的學科，它在教學實踐中主要體現在數學思想方法的教學和數學思維的培養。教學中重視如何能將所學到的各種方法和策略應用到實際的數學活動中去，包括以數學思維方法的分析去帶動和促進具體數學知識內容的教學。
4．1注重滲透的循序漸進和逐步積累
數學思想方法是在啟發學生思維過程中逐步積累和形成的，為此，在教學中首先要強調解決問題以後的“反思”。因為在一個過程中提煉出來的數學思想方法，對學生來說才是易於體會、易於接受的；其次，要注意滲透的長期性，應該看到，對於數學思想方法的滲透不是一朝一夕就能見到學生數學能力提高的，需要一個過程。數學思想方法必須經過循序漸進的滲透和反覆訓練，才能使學生真正地有所領悟。正如數學大師波利亞所說：“一個想法使用一次是技巧，經過多次使用，變成為一種方法。”
4．2關注學生最近發展區和層次性
在貫徹數學思想方法地教學中，要關注學生的最進發展區，儘可能幫助學生掌握現代數學思想方法並根據學生的差異，採取不同的思想方法解決問題，幫助學生完成學習遷移。布魯姆認為，教育的基本任務是找到這樣的策略，既考慮到個別的差異，又能促進個體最充分地發展。因此，教師儘可能設計有利於學生髮展的教學環節，如在教案設計，課堂探究等過程中，都應該注意不同層次的學生能不同程度的領會數學思想方法，使全體學生儘量使用數學思想方法分析問題、解決問題的思維策略，促成其最近發展區的形成。最終實現使“不同的人在數學上得到不同的發展。”③
4．3提高教師的自身認識和可行性
數學的思想方法通常隱含在數學知識體系中，不是一個顯性的知識點。只有掌握了這些數學知識背後的歷史背景和發展的來龍去脈以及當時數學家的思維過程，才能在教學設計中設計適當的教學情景，啟發學生積極的思考。教師自身對於這一知識蘊含的數學思想的認識將直接影響教學中學生對於它的理解。因為數學思想方法的教學必須透過具體的教學過程加以實現，通常以具體的知識內容為載體。因此，必須把握好數學思想方法教學的契機——概念的形成，結論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規律揭示的過程等。同時，數學思想方法的教學要注意有機結合、自然滲透、依勢而行、潛移默化的啟發學生領悟蘊含於數學知識中各種數學思想方法。不可因為講“方法”而方法，生搬硬套。同時注意到在教學活動現場，教學實踐總會突破教學理論設定的框架，並按照自己的要求，確立起新的應對情景性需要的靈活多變的思維策略。因此教學理論應用於教學實踐的過程，決不是機械地對號入座，這也是對教師教學智慧的一種考驗。
5實踐中的啟示與思考
數學方法論給教師許多啟發性的例子，其中蘊含了很多優秀數學家的智慧。在波利亞的《怎樣解題》等方法論的著作中，對於數學解題的過程的分析完全可以給中學數學教學以借鑑，我們可以將數學概念、定理的教學按著他的研究方法，將每個細節都呈現給學生，使學生體驗到數學前輩們的心路歷程，相信數學不是已開始就是以現在完美的形式表現出來的，它也是無數先輩們經過無數次的失敗才形成現在比較完美的形式。學生在學習中面臨的一些困惑在數學思想發展上也曾經是那些數學家的困惑，從而激發學生極大的求知慾和好奇感，無形中增加了學生學習數學的信心。數學方法論的研究中我們可以發現注重對數學本質的挖掘，關注學生學習的過程和方法是數學教學的重點。透過數學發現過程和典型問題的解題過程分析搭建學生學習的平臺，以數學思維方法的分析去帶動和促進具體數學知識內容的教學。
數學方法論的教學實踐，有利於提高教師的專業素質。由“經驗型教學”轉向“理論指導下的自覺實踐”，這需要教師不斷充實自己的知識結構，提高自身的施教水平，透過理論指導和教學實踐逐漸形成有個性的教學方法和教學理念，同時教師的專業成長離不開自己的反思活動。教師的實踐和反思是有機結合的，是相輔相成的。透過教師的教學活動可以讓教師獲得豐富的教學經驗，同時透過反思在真實的教學情景中改進實踐。美國一位學者提出了教師成長公式：經驗+反思=成長，可見實踐與反思是教師積累教育教學經驗，提高教學素養的有效方法。在數學方法論的實踐和反思中我們也應看到了它存在的一些侷限性，絕大部分數學方法論的研究偏重於理論論證，而很少有實踐證明，更少研究在中學數學教學中滲透和應用。因為教學理論更多的是追求普遍和一般，而實踐更多地體現為個別和特殊。所以我們在數學方法論的實踐應用中還需有自己的反思和改進，把理論內化為自己的觀念，正真發揮理論指導實踐、改造實踐的力量。
參考書目：
①徐利治，《數學方法論選講》華中工學院出版社1983
②鄭毓信，《數學方法論入門》浙江教育出版社2008
③劉兼孫曉天，《數學課程標準解讀》北京師範大學出版社2002
④李瑋，《應重視和加強數學教育理論研究》數學教育學報2006。
⑤波利亞，《怎樣解題》上海科技教育出版社2007