關於導數在函式中的應用的論文

　　【摘要】新課程利用導數求曲線的切線，判斷或論證函式的單調性，函式的極值和最值。導數是分析和解決問題的有效工具。

　　【關鍵詞】導數函式的切線單調性極值和最值

　　導數（導函式的簡稱）是一個特殊函式，它的引出和定義始終貫穿著函式思想。新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函式是中學數學研究導數的一個重要載體，函式問題涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法。近年好多省的高考題中都出現以函式為載體，透過研究其影象性質，來考查學生的創新能力和探究能力的試題。本人結合教學實踐，就導數在函式中的應用作個初步探究。

　　有關導數在函式中的應用主要型別有：求函式的切線，判斷函式的單調性，求函式的極值和最值，利用函式的單調性證明不等式，這些型別成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數學學習的重點之一，預計也是“新課標”下高考的重點。

　　一、用導數求函式的.切線分析：根據導數的幾何意義求解。

　　解：y′ = 3x2-6x ，當x=1時y′= - 3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 = -3(x-1)，即為：y = -3x.

　　1、方法提升：函式y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0) ，相應的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。

　　二、用導數判斷函式的單調性

　　例2．求函式y=x3-3x2-1的單調區間。

　　分析：求出導數y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值範圍即可。

　　解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

　　由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

　　故所求單調增區間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調減區間為 (0 ，2 )。

　　三、用導數求函式的極值

　　例3．求函式f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

　　解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

　　當x變化時，y′、y的變化情況如下：

　　當x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).

　　四、用導數求函式的最值

　　五、證明不等式

　　5、方法提升：利用導數證明不等式是近年高考中出現的一種熱點題型。其方法可以歸納為“建構函式，利用導數研究函式最值”。

　　總之，導數作為一種工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函式的單調性，極值，最值以及切線問題。在導數的應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到最佳化解題思維，簡化解題過程的目的，更在於使學生掌握一種科學的語言和工具，進一步加深對函式的深刻理解和直觀認識。

　　參考資料：

　　1、普通高中課程標準實驗教科書（北京師範大學出版社）

　　2、高中數學教學參考