考研高數四大定理證明論文
考研高數四大定理證明論文
1、微分中值定理的證明
這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。
費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0。考慮函式在一點的導數，用什麼方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎麼用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函式部分表示式，不難想到考慮函式部分的正負號。若能得出函式部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋樑。
費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那麼它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區間連續”、“開區間可導”和“端值相等”，結論是在開區間存在一點(即所謂的中值)，使得函式在該點的導數為0。
該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎麼用?如何和結論建立聯絡?當然，我們現在討論該定理的證明是“馬後炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎麼去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創新，是要流芳百世的。
閒言少敘，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那麼羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發現是一致的：都是函式在一點的導數為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明並不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這麼簡單。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什麼滿足?
前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那麼“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那麼我們看看哪個條件可能和極值產生聯絡。注意到羅爾定理的第一個條件是函式在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函式有很好的性質，哪條性質和極值有聯絡呢?不難想到最值定理。
那麼最值和極值是什麼關係?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點，則最值不為極值。那麼接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函式值相等，由此推出函式在整個閉區間上的最大值和最小值相等，這意味著函式在整個區間的表示式恆為常數，那在開區間上任取一點都能使結論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙鵰的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路，適用於證其它結論。
以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形後的式子讀出是對哪個函式用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函式的過程——看等號左側的式子是哪個函式求導後，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查：根據這個犯罪現場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函式遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;複雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函式求不定積分。
2、求導公式的證明
2015年真題考了一個證明題：證明兩個函式乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎麼用比較熟悉，而對它怎麼來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態只關注結論怎麼用，而不關心結論怎麼來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這裡給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的複習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。
當然，該公式的證明並不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函式在一點的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前後都有聯絡，便於提公因子。之後分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。
類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導數公式的證明。
3、積分中值定理
該定理條件是定積分的被積函式在積分割槽間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等於把被積函式拎到積分號外面，並把積分變數x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。
若我們選擇了用連續相關定理去證，那麼到底選擇哪個定理呢?這裡有個小的技巧——看中值是位於閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位於閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位於閉區間。那麼何去何從，已經不言自明瞭。
若順利選中了介值定理，那麼往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函式值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形後等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區間長度後仍為一個數。這個數就相當於介值定理結論中的A。
接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的`熟悉程度了。該定理條件有二：1.函式在閉區間連續，2.實數A位於函式在閉區間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區間上某點的函式值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函式的連續性不難判斷，僅需說明定積分除以區間長度這個實數位於函式的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的範圍，不難想到比較定理(或估值定理)。
4、微積分基本定理的證明
該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。
變限積分求導定理的條件是變上限積分函式的被積函式在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函式的導數為把積分號扔掉，並用積分上限替換被積函式的自變數。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函式在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至於導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。
“牛頓-萊布尼茨公式是聯絡微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生並不多。
該公式和變限積分求導定理的公共條件是函式f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函式，結論是f(x)在該區間上的定積分等於其原函式在區間端點處的函式值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。
注意到該公式的另一個條件提到了原函式，那麼我們把變限積分求導定理的結論用原函式的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函式為f(x)在閉區間上的另一個原函式。根據原函式的概念，我們知道同一個函式的兩個原函式之間只差個常數，所以F(x)等於f(x)的變上限積分函式加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表示式結合推出的等式變形，不難得出結論。