七年級《兩角差餘弦函式》教學設計

七年級《兩角差餘弦函式》教學設計

　　作為一名默默奉獻的教育工作者，通常需要準備好一份教學設計，藉助教學設計可以更大幅度地提高學生各方面的能力，從而使學生獲得良好的發展。那麼什麼樣的教學設計才是好的呢？下面是小編精心整理的七年級《兩角差餘弦函式》教學設計，歡迎閱讀與收藏。

　　一、教材分析

　　本節內容是教材必修4第三章《三角恆等變換》第一節，該節推導得到兩角差的餘弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。

　　過去教材曾用餘弦定理證明兩角和的餘弦函式，雖能對學生進行思維訓練，但過程繁瑣，不易被學生接受。由於向量工具的引入，使得公式的得出成為簡單的代數運算，大大地降低了思考的難度，也更易於學生接受。從知識產生的角度來看，在學習了《三角函式》及《平面向量》後再學習由這些知識推匯出的新知識也更符合知識產生的規律，符合人們認知的規律。

　　二、學情分析

　　本課時面對的學生是高一年級的學生，數學表達能力和邏輯推理能力正處於高度發展的時期，學生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。在學習本節課之前，學生已經學習了任意角三角函式的概念、平面向量的座標表示以及向量數量積的座標表示，這為他們探究兩角差的餘弦公式建立了良好的知識基礎。

　　三、三維教學目標

　　1、知識與技能

　　透過兩角差的餘弦函式的探究，讓學生在初步理解公式的'結構及其功能的基礎上記憶公式，並用之解決簡單的數學問題，為後面推導其他和（差）角函式打好基礎。

　　2、過程與方法

　　透過利用同角三角函式變換及向量推導兩角差的餘弦函式，讓學生體會利用聯絡的觀點來分析問題，解決問題，提高學生邏輯推理能力和合作學習能力。

　　3、情感、態度與價值觀

　　使學生經歷數學知識的發現、創造的過程，體驗成功探索新知的樂趣，獲得對數學應用價值的認識，激發學生提出問題的意識以及努力分析問題、解決問題的激情。

　　四、教學重點、難點

　　重點：兩角差的餘弦函式的理解和運用。

　　難點：兩角差的餘弦函式的推導。

　　五、教學過程

　　(一)問題引入

　　問：我們在第一章學習了角的推廣以及一些特殊角的三角函式值，同學記得哪

　　些特殊值呢？

　　答：例如等。

　　問：而大家指導，那麼猜想一下，會成立嗎？

　　答：錯誤的！（等待學生用特殊角的三角函式值驗證後回答）

　　總結：根據同學們的驗證可知我們的猜想是錯誤的！也就是一般不等於，下面我們就一起探究兩角差的餘弦公式。

　　（設計意圖：這節課要研究的的公式，用等特殊值來引入，一來可以節省時間，二來引出課題更加直接，更加自然。）

　　(二)新課探究

　　第一步、明確探究途徑和目的

　　問：上一章我們剛剛學習了《平面向量》，那些知識中是否涉及到了角度的餘

　　弦，它們有什麼關係呢？

　　答：在向量的數量積中涉及到了，關係是

　　問：同學們回答的很準確，但這個式子似乎還有點複雜，在這兩個向量是什麼特

　　殊情況下，這個式子就可以簡化？

　　答：當向量都是單位向量時，兩向量的模長就可以化為1，將式子簡化為

　　問：那麼結合上一章所學，向量的數量積又可以怎麼表示呢？

　　答：向量的數量積還可以透過它們的座標進行表示。

　　總結：從上面分析可以看出，向量的數量積可以作為角度的餘弦值和座標運算相等的橋樑，這就是突破本節課難點的關鍵。

　　（設計意圖：提示學生聯絡與角的餘弦相關的知識點，明確以向量運算中的數量積的定義和座標表示兩種方法作為研究途徑。）

　　第二步、初步完成知識探究

　　在平面直角座標系內作單位圓，以為始邊作角，其中，它們的終邊與單位圓的交點分別為（限定在第一象限），設的夾角為。（多媒體展示該圖形）

　　問：對應座標分別是多少？

　　答：

　　問：現在如何透過夾角的餘弦和向量的座標運算兩種方式表示向量的數量積？

　　答：一方面；

　　另一方面.

　　問：請同學們針對上述式子仔細觀察，能得到什麼結論呢？

　　答：可以看出。

　　問：這裡我們將點都限定在第一象限，則的夾角和有什麼關

　　系呢？

　　答：可以看出。

　　總結：有了這些關係可以得到，這就是本節課要學習的兩角差的餘弦公式。

　　（設計意圖：在探究公式的過程中，不要求學生做到一步到位。首先對角選擇較為特殊的範圍來進行探究，能讓學生從整體上感知本節課所要探究的途徑與目的，讓大部分學生都參與到探究中來。）

　　第三步、深入理解新知

　　問：由於角是任意角度，而向量夾角的範圍卻是，因此（1）式還不具備一般性。那接下來我們必須考慮的是：是否在任何條件下都有成立？

　　答：只會有兩種關係，一種是，另一種是

　　（必須透過作圖加以分析才能得到這個結論，要加強學生的合作交流，並結合多媒體展示討論情況）

　　問：既然只有兩種情況，那是否都能使成立呢？

　　答：第一種情況下；

　　第二種情況下，都成立。

　　總結：在同學們的共同努力下，我們可以說對任意的，兩角差的餘弦函式為。

　　（設計意圖：公式的推導遵循由淺入深，由特殊到一般，逐層深入的規律，便於理解。而向量方法推導該公式顯得更加直觀和簡潔，也能讓學生體驗向量工具的優點。）

　　第四步、強化公式記憶

　　問：有什麼特點？

　　答：（1）式子中α、β是任意的；

　　（2）公式中兩邊的符號正好相反（一正一負）；

　　（3）式子右邊同名三角函式相乘再加減，且餘弦在前正弦在後；

　　總結：兩角差的餘弦函式記憶口訣“余余正正符號反”。

　　（三）例題講解

　　例1求三角函式的值。

　　解：

　　例2利用差角餘弦公式求。

　　解：

　　（設計意圖：例1是對公式的直接應用，例2體現了角的拼湊思想，拼湊的多樣性，體現了變換的多樣性，讓學生體會數學思想的靈活性，求解的過程可以完全由學生獨立完成。）

　　（四）課堂小結

　　問：本節課我們做了什麼探究活動呢？

　　答：用向量數量積推導兩角差的餘弦函式。

　　問：那兩角差的餘弦函式是什麼呢？

　　答：

　　問：公式運用中需要注意哪些問題呢？

　　答：要注意誘導公式的靈活運用，公式的逆用，特殊角的拼湊等。