兩角差的餘弦公式人教版高一數學說課稿
兩角差的餘弦公式人教版高一數學說課稿
各位領導、各位老師：
大家好!
今天我說課的題目是《兩角差的餘弦公式》。我計劃從教材背景、教學目標、教學方法、教學過程、教學評價等方面來談談我對本節課的理解。
背景分析
1、教材所處的地位和作用：
《兩角差的餘弦公式》是新課標人教版數學必修四第三章第一課時的教學內容，是本模組第一章《三角函式》和第二章《平面向量》相關知識的延續和拓展。其中心任務是透過已學知識,探索建立兩角差的餘弦公式。它不僅是前面已學的誘導公式的推廣，也是後面其它和(差)角公式推導的基礎和核心，具有承前啟後的作用，是本章的重點內容之一。
2、重點，難點以及確定的依據：
對本節課來說，學生最大的困惑在於如何得到公式.所以，
本節課的教學重點是：兩角差的餘弦公式的探究和應用;
教學難點是：兩角差的餘弦公式的由來及證明;
引導學生透過主動參與,獨立探索。
教學目標設計
(1)知識與技能：
本節課的知識技能目標定位在公式的向量法證明和應用上;學會運用分類討論思想完善證明;學會正用、逆用、變用公式;學會運用整體思想，抓住公式的本質.在新舊知識的衝撞過程中，讓學生自主地對知識進行重組、構建，形成屬於自己的知識結構體系.
(2)過程與方法：
創設問題情景，調動學生已有的認知結構，激發學生的問題意識，展開提出問題、分析問題、解決問題的學習活動，讓學生體會從“特殊”到“一般”的探究過程;在探究過程中體會化歸、數形結合等數學思想;在公式的證明過程中，培養學生反思的好習慣;在公式的理解記憶過程中，讓學生髮現數學中的簡潔、對稱美;在公式的運用過程中，培養學生嚴謹的思維習慣和自我糾錯能力.
(3)情感、態度與價值觀：
體驗科學探索的過程，鼓勵學生大膽質疑、大膽猜想，培養學生的“問題意識”，使學生感受科學探索的樂趣，激勵勇氣，培養創新精神和良好的團隊合作意識. 透過對猜想的驗證，對公式證明的完善，培養學生實事求是的科學態度和科學精神.
教法設計
1、學情分析：
學生剛剛學習了同角三角函式的變換及平面向量的知識，對用舉反例推翻猜想、運用單位圓、用向量解決三角問題已經有了一定的基礎，但還遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明的水平.
教學手段：
(1)從知識的認知程式上看，老師看問題從整體到區域性，而學生卻是從區域性到整體。本節課嘗試將“帶著知識走向學生”的接受式教學模式轉變為“帶著學生走向知識”的探究式教學模式，充分尊重學生的主體地位.
(2)本節課的教法採用了“一個主題兩種教學”的設計模式.一個主題：公式探究與應用，兩種教學：顯形教學(知識能力教學)、隱性教學(情商培養)，實踐兩種教學相互促進的人性化教學理念.
(3)在課堂上營造民主、開放、平等的教學氛圍，注重教學評價的多元性，將簡單的結果評價上升為對過程的評價;將一味的'知識評價拓展為能力評價，突出學生的主體性，實現顯形教學與隱性教學的雙重評價，為全面發展學生打下基礎.
(4)利用幾何畫板，透過計算機技術，給學生提供一種驗證猜想合理性的途徑. (教學媒體設計)
課堂結構設計：
引入課題，提出猜想，實驗探究，嚴謹證明，例題訓練，課堂小結
教學過程設計
1、引入課題：
例：如圖所示,一個斜坡的高為6m,斜坡的水平長度為8m,已知作用在物體上的力F與水平方向的夾角為60°,且大小為10N ,在力F的作用下物體沿斜坡運動了3m,求力F作用在物體上的功W.
解： W =
= 30.
提問：1、解決問題需要求什麼?
2、你能找到哪些與有關的條件?
3、能否利用這些條件求出?如果能，提出你的猜想.
4、怎樣檢驗這些猜想是否正確?
【設計意圖】生活例項引入，體現數學與實際生活的聯絡，也與物理(功的定義)、哲學(透過現象看本質)等相關學科相聯絡，增強學生的應用意識，激發學生的學習熱情，同時也讓學生體會數學知識的產生、發展過程.
2、提出猜想：
從特殊情況去猜測公式的結構形式.
令
令
分析：可見，我們的公式的形式應該與均有關係?他們之間存在怎樣的代數關係呢?請同學們根據下表中資料，相互交流討論，提出你的猜想.
用具體值檢驗猜想的合理性.
令則=
三角函式
三角函式值
猜想：
【設計意圖】鼓勵學生髮揮想象力，大膽猜測，然後再去驗證其合理性，增強學生探索問題、挑戰困難的勇氣.
3、實驗探究：
【設計意圖】讓學生用幾何畫板進行數學實驗, 激起學生的好奇心和探究慾望, 使學生體會到數學的系統演繹性和實驗歸納性的兩個側面.
4、嚴謹證明：
(利用向量)
前一章我們剛剛學習完向量，並用向量知識解決了相關的幾何問題，這裡，我們能否用向量知識來推導兩角差的餘弦公式呢?我們來仔細觀察猜想的結構，我們在什麼地方見到過類似結構?在向量部分，求角的餘弦有什麼方法嗎?
(學生：向量的數量積!)
證明：在平面直角座標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角，它們終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則：
=， =
=
∴= (0≤≤)
思考：1、作為兩向量的夾角，有沒有限制條件?
2、如果不在[0，]這個區間內，我們的結論還會成立嗎?怎樣給出證明?(引導學生找到與夾角之間的關係)
【設計意圖】讓學生經歷用向量知識解出一個數學問題的過程，體會向量方法在數學探究過程中的簡潔性。
思考：1、作為兩向量的夾角，有沒有限制條件?
2、如果不在[0，]這個區間內，我們的結論還會成立嗎?怎樣給出證明?(引導學生找到與夾角之間的關係)
推廣完善：令為、的夾角，
則
無論哪種情況，都有
小結：兩角差的餘弦公式：
(其中為任意角，簡記為)
思考：請同學們仔細觀察一下公式的結構，說說公式的結構有什麼特點?應怎樣記憶?(對學生的回答給予及時肯定)
【設計意圖】引導學生關注兩個向量的夾角θ與α-β的聯絡與區別，並透過觀察和討論，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性.
(介紹單位圓的三角函式線法)
除了以上的證明方法，是否還有其它證法呢?
我們發現，這裡涉及的是三角函式，是這個角的餘弦問題，那我們還能不能考慮在單位圓裡用三角函式線來推導呢?
請同學們課後自己在單位圓中畫出、，並考慮如何用角的正弦線、餘弦線來表示的餘弦線?
這個問題作為課後思考題，請同學們課下相互討論，共同探索。
【設計意圖】根據教學實際，對教材進行適當安排，把單位圓三角函式線證法留作課後學生思考，為學生的課後探討留有空間。
5、例題訓練：
1、解決引例中的問題.
2、P127練習：已知，求.
(運用公式時應根據角的範圍，正確確定兩角正、餘弦值的範圍)
公式的逆用：.
4、公式活用：.
【設計意圖】例1讓學生運用所學解決實際問題;例2利用變式突破學生在運用公式過程中的易錯點;例3對逆用公式解題加深認識;例4活用公式，加深學生對公式中兩角形式變化的認識，強化整體思想。
6：課堂小結：
公式探索的一般步驟;公式的結構和功能;公式的運用應注意的問題。
7、作業：
P127 練習1、2、3;
.
【設計意圖】讓學生透過自己小結，反思學習過程，加深對公式的推導和應用過程的理解，促進知識的內化;然後用作業鞏固本節課所學知識。
(附：板書設計)
§3.1.1 兩角差的餘弦公式
一、公式
二、證明
引例：
例2：
例3：
4：
小結：
教學評價分析
診斷性評價：
1.按常規，學生很可能想到先探究兩角和的正弦公式，怎樣想到先研究兩角差的餘弦公式是一個難點(但非重點)，教學時可以直接提出研究兩角差的餘弦公式。但後面補充老教材的證明方法，讓學生明白和與差內在的聯絡性與統一性，努力讓學習過程自然。
2.儘管教材在前面的習題中，已經為用向量法證明兩角差的餘弦公式做了鋪墊，多數學生仍難以想到.教師需要引導學生，聯想到向量的數量積公式和單位圓上點的座標特點，努力使數學思維顯得自然、合理。
3.用向量的數量積公式證明兩角差的餘弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹的錯誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量的夾角的聯絡與區別。
預期效果:
1、讓學生在掌握兩角差的餘弦公式探究方法的基礎上，能夠自我總結形成公式探究的一般方法。
2、激發學生的探究慾望，能夠獨立或合作提出推導其它三角恆等式的方案，形成對三角恆等變換的本質認識，加深對靈活運用公式的理解。
3、培養學生的“問題意識”，在探索的過程中學會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜測，透過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的.