三角形的角平分線
三角形的角平分線
教學目標：
1、理解三角形的內外角平分線定理；
2、會證明三角形的內外角平分線定理；
3、透過對定理的證明，學習幾何證明方法和作輔助線的方法；
4、培養邏輯思維能力。
教學重點：
1、幾何證明中的證法分析；
2、新增輔助線的方法。
教學難點：
如何新增有用的輔助線。
教學關鍵：
抓住相似三角形的判定和性質進行教學。
教學方法：
“四段式”教學法，即讀、議、講、練。
一、閱讀課本，注意問題
1、複習舊知識，回答下列問題
①在等腰三角形中，怎樣從等邊得出等角？又怎樣從等角得出等邊？請畫圖說明。
②輔助線的作法中，除了過兩個點連線一條線段外，最常見的就是過某個已知點作某條已知直線的平行線。平行線有哪些性質？
③怎樣判斷兩個三角形是相似的？相似三角形最基本的性質是什麼？
④幾何證明中怎樣構造有用的相似三角形？
2、閱讀課本，弄清楚教材的內容，並注意教材上是怎樣講的。
提示：課本上在這一節講了三角形的內外角平分線定理，每個定理各講了一種證明方法。為了敘述定理的需要，課本上還講了線段的內分點和外分點兩個概念。最後用一個例題來說明怎樣運用三角形的內外角平分線定理。閱讀時要注意課本上有關問題的敘述、分析以及作輔助線的方法。透過適當的聯想和猜測，找出一些課本上尚未出現的新的證明方法。
3、注意下列問題：
⑴如圖，等腰中，頂角的平分線交底邊於，那麼，圖中出現的相等線段是xxx即xxx。透過比較得到。
⑵如果上面問題中的換成任意三角形，即右圖的，平分，交於，那麼，是不是還成立？請同學們用刻度尺量一量線段的長度，計算，然後再比較（小的誤差忽略不計）。
⑶三角形的內角平分線定理說的是什麼意思？課本上是怎樣寫已知、求證的？
⑷課本上是怎樣進行分析、證明的？都用了哪些學過的知識？證明的根據是什麼？
⑸課本上證明的過程中是怎樣作輔助線的？這樣作輔助線的目的是什麼？
⑹過、、三點能不能作出有用的輔助線？如果能，輔助線應該怎樣作？各能作出幾條？
⑺就作出的輔助線，怎樣尋找證明的思路和方法？分析的過程中用到了哪些知識？
⑻你能不能類似地敘述三角形的外角平分線定理？
⑼回答練習中的第一題。
⑽總結證明方法和作輔助線的方法。
⑾注意內分點和外分點兩個概念及其應用。
4、閱讀指導叢書《平面幾何》第二冊。
⑴注意輔助線中平行線的作法，透過對圖、、的觀察分析，找出解決問題的證明方法。
⑵叢書利用正弦定理中的面積公式來證明三角形的內角平分線定理，既把有關的知識聯絡起來、拓展瞭解題思路，又為我們提供了一種比較簡單的解決問題的方法，值得我們借鑑。要注意三角形面積的幾種不同的計算方法。
二、互相討論，解答疑點
1、上面提出的問題，希望大家獨立思考、獨立完成。根據已有的思路和線索，參照課本上的方法進行分析。
2、思考中實在是有困難的同學，可以和周圍的同學互相討論，發表看法；也可以請老師幫助、提示或指點。
3、把同學之間討論的結果，整理成一個完整的證明過程，寫出每一步證明的根據。最後，適當地總結一些解題的經驗和方法。
三、講評糾正，整理內容
1、把學生討論的結果歸納出來，加以補充說明，糾正錯誤後進行適當的分類總結，點明證題法中的要點。
①證明比例式的依據是平行截割定理的推論，因此，我們作的輔助線都是平行線。
②從上述幾種證明方法可以看出，證明的關鍵在於透過作輔助線把某些線段“移動”到適當的位置，以便根據平行截割定理的推論得出所要的結論。
③輔助平行線的作法，只能是過xxx三點分別作不過、三點的邊（線段）的平行線，和另一條邊（線段）的延長線相交，構成一個等腰三角形，達到“移動”的目的。
2、整理教學內容
⑴線段的內分點和外分點
（ⅰ）定義：
①線上段上，把線段分成兩條線段的點叫做這條線段的內分點。
②線上段的延長線上的點叫做這條線段的外分點。
（ⅱ）舉例
點線上段上，把線段分成了和兩條線段，所以，點是線段的內分點，線段和叫做點內分線段所得的兩條線段。
點線上段的延長線上，和、兩個端點構成了、兩條線段，所以，點是線段的外分點，線段和叫做點外分線段所得的兩條線段。
（ⅲ）條件
①內分點的條件：a）在已知線段上；
b）把已知線段分成另外兩條線段。
②外分點a）在已知線段的延長線上；
b）和已知線段的兩端點構成另外的兩條線段。
（ⅳ）特殊情況
a）線段的中點是不是線段的內分點？內分點是不是線段的中點？
b）線段的黃金分割點是不是線段的內分點？內分點是不是線段的黃金分割點？
c）一條已知線段有幾個中點？有幾個黃金分割點？有幾個內分點？幾個外分點？
（ⅰ）定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應成比例。
（ⅱ）已知：中，平分，交於。
求證：xxx。
（ⅲ）簡單分析
從結論來考慮，橫著看，兩個比的前項、在中，兩個比的後項、在中。按照相似三角形的性質，只要∽，那麼，結論就是成立的。但是，與不是一對相似三角形，所以，不可能用相似三角形來證明。豎著看，有和，事實上，不成一個三角形。若是從“平行線分兩條線段所得的.線段對應成比例”（平行截割定理的推論）來考慮，顯然，圖中也沒有平行線。因此，要想得到結論，只有把其中的某條線段進行適當的移動，使其構成相似三角形的對應邊，或者成為兩條直線上被平行線截得的對應線段。這樣，我們就確定了輔助線的作法以平行線為主。
例如，把線段繞著它的端點旋轉適當的角度到圖中的位置（即的延長線）。由於旋轉不改變線段的長度，所以，從旋轉情況可得。由於平分，所以，連線後可以證明。因此，實際證明時，一般都敘述為“過點作交的延長線於”。不管是哪種說法，其結果都是一樣的。類似地，我們還可以把線段繞著它的端點旋轉適當的角度到端點落線上段的延長線上，同樣也可以證明。
（ⅳ）證法提要
①證法一：如上圖，過點作交的延長線於，可以得到：a）（為什麼？）；b）（為什麼？）。透過等量代換便可以得到結論。同樣，過點作的平行線和邊的延長線相交，也可以證得結論，證明的方法是完全一樣的。
②證法二：如右圖，過點作交的延長線於，可以得到：a）（為什麼？）；b）（為什麼？）。透過等量代換便可以得到所要的結論。同樣，過點作的平行線和的延長線相交，也可以得到結論，證明的方法是完全一樣的。
③證法三：如右圖，過點作交於，可以得到：a）（為什麼？）；b）（為什麼？）；c)。透過等量代換便可以得到所要的結論。同樣，過點作的平行線和相交，也可以得到結論，證明的方法是完全一樣的。
④證法四：如下頁圖，過點作交於，根據三角形的面積公式可得：xxx
又根據正弦定理的面積公式有：
透過比較就可以得到：所要的結論。
（ⅰ）定理：三角形的外角平分線外分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應成比例。
（ⅱ）已知：中，是的一個外角，平分，交的延長線於。
求證：xxx。
（ⅲ）簡單分析：（類同內角平分線定理的分析方法）
（ⅳ）證法提要；（類同內角平分線定理的分析方法）
四、小結全節，練習鞏固
1、小結
⑴兩個定理
（ⅰ）三角形的內角平分線定理
（ⅱ）三角形的外角平分線定理
⑵證明方法
分為四大類共七種方法。
2、練習
⑴教材，2、3兩題。
⑵補充題：
①畫任意一個三角形的某個角的內外角平分線，說明內外角平分線之間的關係，證明你的結論。
②畫等腰三角形的外角平分線，說明外角平分線和底邊之間的關係，證明你的結論。
3、作業
教材，17、18兩題。