高中物理勻變速直線運動的位移與時間的關係教案
高中物理勻變速直線運動的位移與時間的關係教案
整體設計
高中物理引入極限思想的出發點就在於它是一種常用的科學思維方法，上一章教材用極限思想介紹了瞬時速度和瞬時加速度，本節介紹v-t圖線下面四邊形的面積代表勻變速直線運動的位移時，又一次應用了極限思想.當然，我們只是讓學生初步認識這些極限思想，並不要求會計算極限.按教材這樣的方式來接受極限思想，對高中學生來說是不會有太多困難的.學生學習極限時的困難不在於它的思想，而在於它的運算和嚴格的證明，而這些，在教材中並不出現.教材的宗旨僅僅是“滲透”這樣的思想.在匯出位移公式的教學中，利用實驗探究中所得到的一條紙帶上時間與速度的記錄，讓學生思考與討論如何求出小車的位移，要鼓勵學生積極思考，充分表達自己的想法.可啟發、引導學生具體、深入地分析，肯定學生正確的想法，弄清楚錯誤的原因.本節應注重數、形結合的問題，教學過程中可採用探究式、討論式進行授課.
教學重點
1.理解勻速直線運動的位移及其應用.
2.理解勻變速直線運動的位移與時間的關係及其應用.
教學難點
1.v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時間內運動的位移.
2.微元法推導位移公式.
課時安排
1課時
三維目標
知識與技能
1.知道勻速直線運動的位移與時間的關係.
2.理解勻變速直線運動的位移及其應用.
3.理解勻變速直線運動的位移與時間的關係及其應用.
4.理解v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時間內運動的位移.
過程與方法
1.透過近似推導位移公式的過程，體驗微元法的特點和技巧，能把瞬時速度的求法與此比較.
2.感悟一些數學方法的應用特點.
情感態度與價值觀
1.經歷微元法推導位移公式和公式法推導速度位移關係，培養自己動手的能力，增加物理情感.
2.體驗成功的快樂和方法的意義.
課前準備
多媒體課件、座標紙、鉛筆
教學過程
匯入新課
情景匯入
“適者生存”是自然界中基本的法則之一，獵豹要生存必須獲得足夠的食物，獵豹的食物來源中，羚羊是不可缺少的.假設羚羊從靜止開始奔跑，經50 m能加速到最大速度25 m/s，並能維持較長的時間；獵豹從靜止開始奔跑，經60 m能加速到最大速度30 m/s，以後只能維持這個速度4.0 s.設獵豹在某次尋找食物時，距離羚羊30 m時開始攻擊，羚羊在獵豹開始攻擊後1.0 s才開始逃跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速直線運動，且均沿同一直線奔跑，獵豹能否成功捕獲羚羊？
故事匯入
1962年11月，赫赫有名的“子爵號”飛機正在美國馬里蘭州伊利奧特市上空平穩地飛行，突然一聲巨響，飛機從高空栽了下來，事後發現釀成這場空中悲劇的罪魁禍首竟是一隻在空中慢慢翱翔的天鵝.
在我國也發生過類似的事情.1991年10月6日，海南海口市樂東機場，海軍航空兵的一架“014號”飛機剛騰空而起，突然，“砰”的一聲巨響，機體猛然一顫，飛行員發現左前三角擋風玻璃完全破碎，令人慶幸的是，飛行員憑著頑強的意志和嫻熟的技術終於使飛機降落在跑道上，追究原因還是一隻迎面飛來的小鳥.
飛機在起飛和降落過程中，與經常棲息在機場附近的飛鳥相撞而導致“機毀鳥亡”.小鳥為何能把飛機撞毀呢？學習了本節知識，我們就知道其中的原因了.
複習匯入
前面我們學習了勻變速直線運動中速度與時間的關係，其關係式為v=v0+at.在探究速度與時間的關係時，我們分別運用了不同方法來進行.我們知道，描述運動的物理量還有位移，那位移與時間的關係又是怎樣的呢？我們又將採用什麼方法來探究位移與時間的關係呢？
推進新課
一、勻速直線運動的位移與時間的關係
做勻速直線運動的物體在時間t內的位移x=v-t.
說明：取運動的初始時刻物體的位置為座標原點，這樣，物體在時刻t的位移等於這時的座標x，從開始到t時刻的時間間隔為t.
教師設疑：同學們在座標紙上作出勻速直線運動的v-t圖象，猜想一下，能否在v-t圖象中表示出做勻速直線運動的物體在時間t內的位移呢？學生作圖並思考討論.
合作探究
1.作出勻速直線運動的物體的速度—時間圖象.
2.由圖象可看出勻速直線運動的v-t圖象是一條平行於t軸的直線.
3.探究發現，從0——t時間內，圖線與t軸所夾圖形為矩形，其面積為v-t.
4.結論：對於勻速直線運動，物體的位移對應著v-t圖象中一塊矩形的面積，如圖2-3-1.
圖2-3-1
點評：1.透過學生回答教師提出的問題，培養學生應用所學知識解決問題的能力和語言概括表達能力.
2.透過對問題的`探究，提高學生把物理規律和數學圖象相結合的能力.
討論了勻速直線運動的位移可用v-t圖象中所夾的面積來表示的方法，勻變速直線運動的位移在v-t圖象中是不是也有類似的關係，下面我們就來學習勻變速直線運動的位移和時間的關係.
二、勻變速直線運動的位移
教師啟發引導，進一步提出問題，但不進行回答.
問題：對於勻變速直線運動的位移與它的v-t圖象是不是也有類似的關係？
透過該問題培養學生聯想的能力和探究問題、大膽猜想的能力.
學生針對問題思考，並閱讀“思考與討論”.
學生分組討論並說出各自見解.
結論：學生A的計算中，時間間隔越小，計算出的誤差就越小，越接近真實值.
點評：培養用微元法的思想分析問題的能力和敢於提出與別人不同見解發表自己看法的勇氣.
說明：這種分析方法是把過程先微分後再累加（積分）的定積分思想來解決問題的方法，在以後的學習中經常用到.比如：一條直線可看作由一個個的點子組成，一條曲線可看作由一條條的小線段組成.
教師活動：（投影）提出問題：我們掌握了這種定積分分析問題的思想，下面同學們在座標紙上作初速度為v0的勻變速直線運動的v-t圖象，分析一下圖線與t軸所夾的面積是不是也表示勻變速直線運動在時間t內的位移呢？
學生作出v-t圖象，自我思考解答，分組討論.
討論交流：1.把每一小段Δt內的運動看作勻速運動，則各矩形面積等於各段勻速直線運動的位移，從圖2-3-2看出，矩形面積之和小於勻變速直線運動在該段時間內的位移.
圖2-3-2 圖2-3-3 圖2-3-4
2.時間段Δt越小，各勻速直線運動位移和與勻變速直線運動位移之間的差值就越小.如圖2-3-3.
3.當Δt→0時，各矩形面積之和趨近於v-t圖象下面的面積.
4.如果把整個運動過程劃分得非常非常細，很多很小矩形的面積之和就能準確代表物體的位移了，位移的大小等於如圖2-3-4所示的梯形的面積.
根據同學們的結論利用課本圖2.3-2（丁圖）能否推匯出勻變速直線運動的位移與時間的關係式？
學生分析推導，寫出過程：
S面積= （OC+AB）OA
所以x= （v0+v）t
又v=v0+at
解得x=v0t+ at2.
點評：培養學生利用數學圖象和物理知識推導物理規律的能力.
做一做：位移與時間的關係也可以用圖象表示，這種圖象叫做位移—時間圖象，即x-t圖象.運用初中數學中學到的一次函式和二次函式知識，你能畫出勻變速直線運動x=v0t+ at2的x-t圖象嗎？（v0、a是常數）
學生在座標紙上作x-t圖象.
點評：培養學生把數學知識應用在物理中，體會物理與數學的密切關係，培養學生作關係式圖象的處理技巧.
（投影）進一步提出問題：如果一位同學問：“我們研究的是直線運動，為什麼畫出來的x-t圖象不是直線？”你應該怎樣向他解釋？
學生思考討論，回答問題：
位移圖象描述的是位移隨時間的變化規律，而直線運動是實際運動.
知識拓展
問題展示：勻變速直線運動v-t關係為：v=v0+at
x-t關係為：x=v0t+ at2
若一質點初速度為v0=0，則以上兩式變式如何？
學生思考回答：v=at x= at2
進一步提出問題：一質點做初速度v0=0的勻加速直線運動.
（1）1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比為多少？
（2）1 s內、2 s內、3 s內……n s內的位移之比為多少？
（3）第1 s內、第2 s內、第3 s內……第n s內的位移之比為多少？
（4）第1個x，第2個x，第3個x……第n個x相鄰相等位移的時間之比為多少？
點評：透過該問題加深對公式的理解，培養學生靈活運用所學知識解決實際問題的能力.
學生活動：思考，應用公式解決上述四個問題.
（1）由v=at知，v∝t，故1 s末、2 s末、3 s末……n s末的速度之比為：1∶2∶3∶…∶n
（2）由x= at2知x∝t2，故1 s內、2 s內、3 s內……n s內的位移之比為：1∶4∶9∶…∶n2
（3）第1 s內位移為x1= a，第2 s內位移為x2= a（22-12），第3 s內位移為x3= a（32-22），第n s內位移為xn= a［n2-（n-1）2］
故第1 s內，第2 s內，第3 s內，…第n秒內位移之比為：1∶3∶5∶…∶（2n-1）.
（4）由x= at2知t∝ ，故x，2x，3x，…nx位移所用時間之比為：1∶ ∶ ∶…∶ .
第1個x，t1= ；第2個x，t2= ；第3個x，t3= ……第n個x，tn= ，故第1個x，第2個x，第3個x……第n個x相鄰相等位移的時間之比：1∶（ -1）∶（ - ）∶…∶（ - ）
三、勻變速直線運動位移時間關係的應用
引導學生由v=v0+at，x=v0t+ at2兩個公式匯出兩個重要推論，再利用兩個推論解決實際問題，加深對公式的理解，提高學生邏輯思維能力.
問題：在勻變速直線運動中連續相等的時間（T）內的位移之差是否是恆量？若不是，寫出之間的關係；若是，恆量是多少？
學生分析推導：xn=v0T+ aT2
xn+1=（v0+aT）T+ aT2
Δx=xn+1-xn=aT2（即aT2為恆量）.
展示論點：在勻變速直線運動中，某段時間內中間時刻的瞬時速度等於這段時間內的平均速度.
學生分組，討論並證明.
證明：如圖2-3-5所示
圖2-3-5
= +
= +at
= = = +
所以 = .
例1一個做勻變速直線運動的質點，在連續相等的兩個時間間隔內，透過的位移分別是24 m和64 m，每一個時間間隔為4 s，求質點的初速度和加速度.
解析：勻變速直線運動的規律可用多個公式描述，因而選擇不同的公式，所對應的解法也不同.如：
解法一：基本公式法：畫出運動過程示意圖，如圖2-3-6所示，因題目中只涉及位移與時間，故選擇位移公式：
圖2-3-6
x1=vAt+ at2
x2=vA（2t）+ a（2t）2-（ t+ at2）
將x1=24 m、x2=64 m，代入上式解得：
a=2.5 m/s2，vA=1 m/s.
解法二：用平均速度公式：
連續的兩段時間t內的平均速度分別為：
=x1/t=24/4 m/s=6 m/s
=x2/t=64/4 m/s=16 m/s
B點是AC段的中間時刻，則
= ，
=
= = = m/s=11 m/s.
得 =1 m/s， =21 m/s
a= = m/s2=2.5 m/s2.
解法三：用推論式
由Δx=at2得
a= = m/s2=2.5 m/s2
再由x1= t+ at2
解得 =1 m/s.
答案：1 m/s 2.5 m/s2
說明：1.運動學問題的求解一般均有多種解法，進行一題多解訓練可以熟練地掌握運動學規律，提高靈活運用知識的能力.從多種解法的對比中進一步明確解題的基本思路和方法，從而提高解題能力.
2.對一般的勻變速直線運動問題，若出現相等的時間間隔問題，應優先考慮公式Δx=at2求解.
課堂訓練
一個滑雪的人，從85 m長的山坡上勻變速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，他透過這段山坡需要多長時間？
分析：滑雪人的運動可以看作是勻加速直線運動，可以利用勻變速直線運動的規律來求.已知量為初速度v0、末速度vt和位移x，待求量是時間t，此題可以用不同的方法求解.
解法一：利用公式vt=v0+at和x=v0t+ at2求解，
由公式vt=v0+at得，at=vt-v0，代入x=v0t+ at2有，
x=v0t+ ，故
t= = s=25 s.
解法二：利用平均速度的公式：
= 和x= t求解.
平均速度： = = =3.4 m/s
由x= t得，需要的時間：t= = =25 s.
關於剎車時的誤解問題：
例2 在平直公路上，一汽車的速度為15 m/s，從某時刻開始剎車，在阻力作用下，汽車以2 m/s2的加速度運動，問剎車後10 s末車離開始剎車點多遠？
分析：車做減速運動，是否運動了10 s，這是本題必須考慮的.
初速度v0=15 m/s，a=-2 m/s2，設剎車時間為t0，則0=v0+at.
得：t= = s=7.5 s，即車運動7.5 s會停下，在後2.5 s內，車停止不動.
解析：設車實際運動時間為t，vt=0，a=-2 m/s2，由v=v0+at知t=7.5 s.
故x=v0t+ at2=56.25 m.
答案：56.25 m
思維拓展
如圖2-3-7所示，物體由高度相同、路徑不同的光滑斜面靜止下滑，物體透過兩條路徑的長度相等，透過C點前後速度大小不變，問物體沿哪一路徑先到達最低點？
圖2-37 圖2-3-8
合作交流：物體由A→B做初速度為零的勻加速直線運動，到B點時速度大小為v1；物體由A→C做初速度為零的勻加速直線運動，加速度比AB段的加速度大，由C→D做勻加速直線運動，初速度大小等於AC段的末速度大小，加速度比AB段的加速度小，到D點時的速度大小也為v1（以後會學到），用計算的方法較為煩瑣，現畫出函式圖象進行求解.
根據上述運動過程，畫出物體運動的v-t圖象如圖2-3-8所示，我們獲得一個新的資訊，根據透過的位移相等知道兩條圖線與橫軸所圍“面積”相等，所以沿A→C→D路徑滑下用的時間較短，故先到達最低點.
提示：用v-t圖象分析問題時，要特別注意圖線的斜率、與t軸所夾面積的物理意義.（注意此例中縱軸表示的是速率）
課堂訓練
“適者生存”是自然界中基本的法則之一，獵豹要生存必須獲得足夠的食物，獵豹的食物來源中，羚羊是不可缺少的.假設羚羊從靜止開始奔跑，經50 m能加速到最大速度25 m/s，並能維持較長的時間；獵豹從靜止開始奔跑，經60 m能加速到最大速度30 m/s，以後只能維持這個速度4.0 s.設獵豹在某次尋找食物時，距離羚羊30 m時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊後1.0 s才開始逃跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速直線運動，且均沿同一直線奔跑，問獵豹能否成功捕獲羚羊？（情景匯入問題）
解答：羚羊在加速奔跑中的加速度應為：
a1= = ①
x= a1t2 ②
由以上二式可得：a1= =6.25 m/s2，同理可得出獵豹在加速過程中的加速度a2= = =7.5 m/s2.羚羊加速過程經歷的時間t1= =4 s.獵豹加速過程經歷的時間t2= =4 s.
如果獵豹能夠成功捕獲羚羊，則獵豹必須在減速前追到羚羊，在此過程中獵豹的位移為：x2=x2+v2t=（60+30×4） m=180 m，羚羊在獵豹減速前的位移為：x1=x1+v1t′=（50+25×3） m=125 m，因為x2-x1=（180-125） m=55 m＞30 m，所以獵豹能夠成功捕獲羚羊.
課堂小結
本節重點學習了對勻變速直線運動的位移—時間公式x=v0t+ at2的推導，並學習了運用該公式解決實際問題.在利用公式求解時，一定要注意公式的向量性問題.一般情況下，以初速度方向為正方向；當a與v0方向相同時，a為正值，公式即反映了勻加速直線運動的速度和位移隨時間的變化規律；當a與v0方向相反時，a為負值，公式反映了勻減速直線運動的速度和位移隨時間的變化規律.代入公式求解時，與正方向相同的代入正值，與正方向相反的物理量應代入負值.
佈置作業
1.教材第40頁“問題與練習”第1、2題.
2.利用課餘時間實際操作教材第40頁“做一做”的內容.
板書設計
3 勻變速直線運動的位移和時間的關係
位移與時間的關係
活動與探究
課題：用一把直尺可以測定你的反應時間.
方法：請另一個人用兩個手指捏住直尺的頂端，你用一隻手在直尺的下端作捏住直尺的準備，但手不能碰到直尺，記下這時手指在直尺上的位置；當你看到另一個人放開直尺時，你立即去捏直尺，記下你捏住直尺的位置，就可以求出你的反應時間.（用該尺測反應時間時，讓手指先對準零刻度處）試說明其原理.
提示：直尺做v0=0、a=g的勻加速直線運動，故x= .
習題詳解
1.解答：初速度v0=36 km/h=10 m/s，加速度a=0.2 m/s2，時間t=30 s，根據s=v0t+ at2得s=390 m.
根據v=v0+at得v=16 m/s.
2.解答：初速度v0=18 m/s，時間t=3 s，位移s=36 m.根據s=v0t+ at2得a= =-4 m/s2.
3.解答：x= at2x∝a
即位移之比等於加速度之比.
設計點評
本節是探究勻變速直線運動的位移與時間的關係，本教學設計先用微分思想推匯出位移應是v-t圖象中圖線與t軸所夾圖形的面積，然後根據求圖形面積，推匯出了位移—時間關係.這種分析方法是把過程先微分後再累加（積分）的定積分思想來解決問題的方法，在以後的學習中經常用到.因此本教學設計側重了極限思想的滲透，使學生接受過程中不感到有困難.在滲透極限的探究過程中，重點突出了數、形結合的思路.