海涅，H.
[拼音]：xingshi luoji
[英文]：formal logic
研究演繹推理及其規律的科學，包括對於詞項和命題形式的邏輯性質的研究。它提供檢驗有效的推理和非有效的推理的標準。形式邏輯已經歷了2000多年的歷史，19世紀中葉以前的形式邏輯主要是傳統邏輯，19世紀中葉以後發展起來的現代形式邏輯，通常稱為數理邏輯，也稱為符號邏輯。
研究物件和方法
形式邏輯研究的推理中的前提和結論之間的關係，是由作為前提和結論的命題的邏輯形式決定的，而命題的邏輯形式(簡稱命題形式)的邏輯性質則是由邏輯常項決定的。要弄清邏輯常項的性質，系統地揭示推理規律，就要通過建立邏輯演算，進行元邏輯的研究。建立邏輯演算、研究元邏輯的方法是形式化的公理方法。
邏輯常項
每一門科學理論都是一個由真命題組成的系統。邏輯真命題是根據被稱為邏輯常項的邏輯詞的意義和性質確立的。對於邏輯常項，可以有狹義的和廣義的兩種理解。狹義的邏輯常項包括：
（1）命題聯結詞。基本的命題聯結詞有五個，稱為否定詞、合取詞、析取詞、蘊涵詞和等值詞。在漢語中，它們分別由“並非”、“並且”、“或（者）”、“如果，那末”、“當且僅當”這些語詞表達。
（2）量詞，包括全稱量詞和存在量詞。在漢語中，通常用 “所有”、“一切” 表示全稱量詞，“有”、“有的”表示存在量詞。
（3）等詞，即表示同一的概念。自然語言中的這類語詞，除了表達邏輯意義外，通常還有邏輯以外的意義。因此，形式邏輯對這些邏輯常項都用符號表示。例如，五個命題聯結詞分別用符號塡、∧、∨、→和凮表示；等詞用=表示；全稱量詞和存在量詞分別用凬x和ヨx 表示，其中凬稱為全稱量詞符號，ヨ稱為存在量詞符號。全稱量詞凬x 讀作“對於所有(一切)個體 x”，存在量詞ヨx讀作“存在（有）一個個體x，使得…”。其中的x，稱為約束個體變元， 它的值是某個固定的事物類的分子或叫做個體， 這個類稱為論域或稱個體域。 所謂論域即是一門科學所要研究的物件的不空集合， 論域中的元素即研究的物件稱為個體。只研究命題聯結詞的邏輯系統稱為命題邏輯。 研究 ①、②兩類邏輯常項以及謂詞的系統稱為一階邏輯， 又稱狹義謂詞邏輯、量詞理論（見謂詞邏輯）。包括等詞= 的系統叫做帶等詞的一階邏輯。
廣義的邏輯常項包括以下幾類：
（1）高階量詞。指量詞不是象在一階邏輯中那樣作用於給定論域中的個體，而是作用於個體的謂詞即個體的集合和個體的 n元組的集合，或者是作用於謂詞的謂詞，也就是作用於個體的集合的集合，等等。由此得到的邏輯系統叫做二階邏輯、三階邏輯等等。把所有有窮階邏輯彙集在一起的系統叫做型別論。與一階邏輯相對照，這些系統都是高階邏輯。
（2）由符號∈表示的屬於關係。一階邏輯加上由∈構成的系統就是集合論。
（3）必然、可能這一類概念。在一階邏輯基礎上加進必然和可能這兩個邏輯詞，就構成一階模態邏輯；在高階邏輯中加進這兩個邏輯詞，就構成高階模態邏輯，等等。
命題形式和推理形式
推理是由作為前提和結論的命題組成的。因此，分析推理的形式，需要先分析命題的形式。一個命題是由若干個詞項組成的，對於一個給定的命題，其中的非邏輯詞項都可以用適當型別的變元代替，並用符號表示在其中出現的邏輯常項，其結果就得到顯示該命題的形式的一個公式。設以下兩個命題：
（1）沒有最大的整數；
（2）每件提案都有人附議。這兩個命題具有怎樣的形式，不容易看出來。為了顯示出它們的邏輯形式，將這兩個命題換述為：
（1）ˊ對於每一個整數x，都有一個比它大的整數；
（2）ˊ對於每一件提案x，都有人對它表示附議。
（1）ˊ和②ˊ顯示出它們在結構上即形式上具有共同性。用適當型別的變元代替①和②中的非邏輯詞項“整數”、“提案”、“人”、“比……大”等，就可以得到表示①ˊ和②ˊ因而表示命題①和②的形式的公式。表示命題形式的公式，通常要使用命題變元、個體變元和謂詞變元。命題變元是表示命題的符號。命題總是或者是真的，或者是假的，命題的真或假稱為命題的真值。命題變元取真或假為值。個體變元，是表示論域中的個體的符號，它取論域中的任一個體為值。謂詞變元則是表示個體的性質或個體之間關係的符號。有了這些變元命題①和②的形式就由下面的公式表示:
凬xヨyR(y，x)
公式中的x，y是個體變元，R是謂詞變元。如果以整數的集合作論域，並以整數之間的大於關係解釋該公式中的謂詞變元R，即用謂詞“大於”代替R，也就是把R(y，x)解釋成“y大於x”，就得到命題①。由這樣的公式表示的是一類命題形式。另一類命題形式則與命題聯結詞有關。從已有的命題應用命題聯結詞可以構成新的命題，稱為複合命題，例如，從①和②應用聯結詞“並且”，就可以構成複合命題：“沒有最大的整數並且每件提案都有人附議。”決定複合命題邏輯性質的，是其中出現的聯結詞，而不依賴於構成複合命題的命題的內容或形式。因此，在分析複合命題的邏輯形式時，應考慮的是在其中出現的聯結詞的邏輯性質。這樣，如果用命題變元 p、q代替複合命題中的兩個命題，就得到p∧q這一形式。
一個推理由一個或幾個稱作前提的命題和一個稱為結論的命題組成，例如，“凡闊葉植物都是落葉的，葡萄樹是闊葉植物，所以葡萄樹是落葉的”。在這一推理中，“所以”一詞前面的兩個命題是前提，“所以”後面的那個命題是結論。一個推理關係是前提和結論之間的邏輯關係。從前提推出結論，可以是直接的，即只是一步。但是，從一組前提S推出一個結論A，往往不是直接一步就得出的，而是一個包括許多步推理的過程。因此，在研究推理的形式和規律時，要把複雜的推理關係，即由許多步推理組成的前提和結論之間的關係，分解成從前提一步得出結論的推理關係，並研究這樣的推理形式。一個推理的形式由作為前提和結論的命題形式而決定。推理形式由前提和結論的命題形式，再加上表示前提和結論之間的推理關係的符號來表示。對於前面那個具體推理來說，用適當的變元代替前提和結論中的非邏輯詞項，同一個詞項在幾個命題中的出現代以同一的變元，它的兩個前提和結論就分別具有形式：
凬x（G(x)→H(x)）；凬x（F(x)→G(x)）；凬x(F(x)→H(x))
這個推理的形式，還可以用下面的圖式表示：
其中的橫線表示前提和結論之間的推理關係，橫線上面的公式是前提，橫線下面的公式是結論。它也可以表示成下述式子：
凬x（G(x)→H(x)），凬x（F(x)→G(x)）儱凬x(F(x)→H(x))
其中符號儱表示推理關係，在符號儱左邊的為前提，右邊的為結論。另外，一個推理形式也可以轉換成一個命題形式。其方法是：把幾個前提的命題形式用聯結詞∧聯結起來，再把表示前提和結論的公式用蘊涵符號→聯結起來。相應於上面的推理形式的命題形式是下述公式：
凬x（G(x)→H(x)）∧凬x（F(x)→G(x)）→凬x(F(x)→H(x))
如同①和②這兩個內容完全不同的命題具有相同的形式一樣，不同的推理，同樣可以有相同的形式。
真常公式和有效推理形式
命題是有真假的。但作為一個符號公式的一個命題形式，本身是無所謂真假的。作為一個命題形式的公式，如對其中的變元給予解釋，即用適當詞項代替變元，就得到一個命題。有的命題形式，在一種解釋下所得到的命題是一個真命題，在另一種解釋下，可以得到一個假命題。例如，對於凬xヨyR(y，x)以1～9這9個數組成的集合{1，2，…，9}作論域，謂詞變元R仍解釋成數之間的大於關係，就得到一個對於論域{1，2，…，9}的斷言，即在該論域中沒有一個最大的數。這就是一個假的命題。因為就以 1～9這9個數組成的論域來說，是有一個最大的數的，這個最大的數就是9。
在表示命題形式的公式中，有一類公式具有特殊的性質，稱為常真公式。例如，對於p∨塡p這一公式來說，不論其中的命題變元p取什麼值，即不論p取真值還是取假值，根據聯結詞“或者”(∨)和“非”(塡)的邏輯性質，其結果總是真的。也可以說，不論 p是表示哪一個具體命題，用一個具體命題代替命題變元p時所得到的命題總是真的，而與用來代替命題變元p的命題的內容、真假無關，它的常真性是根據其中出現的邏輯聯結詞∨和塡的意義而成立的。公式
凬x（G(x)→H(x)）∧凬x（F(x)→G(x)）→凬x(F(x)→H(x))
也是常真的。不論取什麼事物的集合作論域，以表示論域中的個體性質的詞項代替其中的謂詞變元，所得到的命題同樣總是真的，它的真也是根據在其中出現的邏輯常項的意義而成立的。這樣的公式，不論對它作怎樣的代入，作怎樣的解釋，結果總是得到一個真命題，所以稱為常真公式。公式p∨塡p的常真性，只跟命題聯結詞的意義有關，而不涉及量詞的意義，這樣的常真公式也稱為重言式。不但和命題聯結詞的意義有關，而且也依賴於量詞的邏輯性質的常真公式也稱為普遍有效的。不是常真的，但在有的解釋或代入下，得到的命題是真的，這類公式稱為可滿足的。普遍有效（常真）的公式具有特殊的意義，邏輯規律和有效的推理形式都是普遍有效的公式。而研究可滿足的公式的意義在於，普遍有效性與可滿足性是相互聯絡的，一個公式是普遍有效的，當且僅當它的否定是不可滿足的。因此，形式邏輯對命題形式的公式既可以從普遍性方面研究，也可以從可滿足性方面研究。
推理有有效的和非有效的之分。有效的推理是具有以下性質的推理:根據作為前提和結論的命題的形式，在前提真時，結論也必定是真的。決定一個推理是不是有效的，不是依據前提和結論的具體內容，而是依據於由前提和結論的邏輯形式決定的推理形式。區分一個推理形式是不是有效，可以用公式的普遍有效性定義推理形式的有效性，即一個推理形式是有效的，當且僅當與它相應的那個命題形式的公式是普遍有效的。對於命題演算的公式是否普遍有效，可以用能行的方法判定。所謂能行的方法，是指一種機械的程式，它對每一步該怎樣做，都是明確地規定了的，按照這種程式機械地一步一步進行下去，在有窮步內就能判明一個公式是普遍有效的還是非普遍有效的。因此，對於僅與命題聯結詞有關的推理的形式，都可以能行地判定它是不是有效的。對於判定一階邏輯的公式是不是普遍有效的，一般沒有能行的方法。不過，可以對一階邏輯的公式分類，對其中的若干類公式，可以有判定方法。另外，一階邏輯對每個邏輯常項都規定有相應的推理規則，凡是按照這種推理規則從前提推出結論的推理，都是有效的。
形式化和形式系統
常真的命題形式是為數無窮的。在這無窮多個常真的命題形式中，有的極為重要，有的不那麼重要，但它們在一定意義上都是邏輯規律的反映。在傳統邏輯中，除了三段論是關於很狹小的一類推理形式和規律的系統理論外，其它的只是關於個別的推理形式。而為了系統地研究推理及其規律，就必須把無窮多個常真的命題形式包括在一個系統中，對它們作整體的研究。在現代形式邏輯中，這樣的研究是通過構造邏輯演算實現的。邏輯演算是一種形式系統，它是把邏輯理論形式化的結果。把命題邏輯形式化而建立的形式系統是命題演算，把一階邏輯形式化而建立的形式系統則是狹謂詞演算。在許多邏輯文獻中，也往往把狹謂詞演算稱為一階邏輯。
把一個理論形式化，也就是用一種稱為形式語言的表意符號語言陳述所要形式化的理論。被形式化的理論中的概念用形式語言中的符號或者用按一定規則生成的符號組合（項）表示；被形式化的理論中的命題用按一定規則構造起來的形式語言的符號公式表示。一個形式語言包括初始符號和形成規則兩個部分。由初始符號可以組成各種符號串，形成規則規定怎樣生成或構造起來的符號串是合式公式（簡稱公式）。就邏輯演算說，形式語言包括以下幾類初始符號：
（1）表示邏輯常項的符號；
（2）表示命題變元的符號；
（3）表示個體變元的符號；
（4）表示謂詞變元的符號；
（5）構造合式公式用的技術性符號，包括括弧和逗號。有的邏輯演算中還包括：⑥表示函式的函式變元符號。命題演算的形式語言只需①、②、⑤類符號，謂詞演算則用到①～⑤類符號或①～⑥類符號。形成規則則要滿足：按形成規則生成的(合式)公式能確切地反映命題形式，因而能確切地反映前提和結論之間的推理關係。一階邏輯的形式語言稱為一階語言。規定一個形式語言即規定各類初始符號和陳述形成規則，是構成一個邏輯演算，一般地說，也就是構造一個形式系統的第一步，一個形式語言是一個邏輯演算的第一個組成部分。一個邏輯演算的第二個組成部分是一組公理，公理是特別挑選出來的一組合式公式，其數目可以有窮也可以無窮。邏輯演算的第三個組成部分是一組變形規則，也稱為推理規則。變形規則規定如何從公理和已經推匯出來的一個或幾個公式，經過符號變換而推匯出另一個公式。從公理出發應用變形規則可以推匯出一系列公式，稱為定理。
把一個邏輯理論形式化，構成一個邏輯演算（形式系統），這個邏輯演算本身就成為研究物件，人們通過對邏輯演算的研究研究邏輯規律。在構造邏輯演算時，形式語言的符號、形成規則、公理和變形規則以及由規則所生成的物件包括合式公式和應用變形規則從公理推匯出來的公式──定理，都是有預定的解釋的。但是，當把邏輯演算作為形式系統加以研究時，是把符號、合式公式等都作為未解釋的，因而是沒有任何涵義的物件看待的。進行這樣研究的優點在於，符號、公式都是有窮的具體物件，是完全確定的，而應用變形規則從公理和已經推匯出來的公式推導新公式，也只涉及公式即符號組合的形狀。這樣的具體物件不會引起理解的歧義和掌握的困難。而意義是抽象的、比較難掌握的，會引起理解的不同。所以，通過對具體物件的研究有助於掌握抽象的東西。這種只涉及具體物件，只涉及公式之間的關係的研究，稱為語法的研究。當把邏輯演算（形式系統）加以解釋，並研究其公式和它們的意義之間的關係時，就稱為語義的研究。一個邏輯演算加以解釋後，就是一個邏輯理論。某些初始符號經解釋後是邏輯概念，合式公式經解釋後為命題形式，變形規則經解釋後則是推理規則，公理和定理經解釋後就成了表示邏輯規律的常真命題或有效的推理形式。一般的形式系統經解釋後，就是一個有內容的科學理論。
形式語言作為研究的物件，被稱為物件語言。在描述邏輯演算和研究邏輯演算時，還要使用一種被稱為元語言的語言。對邏輯演算的研究，不僅要推導演算中的定理，從而得到一系列反映邏輯規律的常真的普遍有效的公式，而且還要把演算本身作為整體加以研究，從而揭示整個演算系統的某些重要的性質。這種研究也要證明一些定理，它們不是演算中的定理，而是關於整個演算系統的定理。關於整個演算系統性質的研究，稱為元邏輯的研究，所證明的定理則稱為元定理。元邏輯是現代形式邏輯的很重要的組成部分，元定理揭示的是關於邏輯演算的重要性質，是對於邏輯規律的深刻認識。
傳統邏輯
形式邏輯的創始人是古希臘的亞里士多德。亞里士多德建立了第一個邏輯系統，即三段論理論。繼亞里士多德之後，麥加拉－斯多阿學派邏輯揭示出命題聯結詞的一些重要性質，發現了若干與命題聯結詞有關的推理形式和規律。中世紀的一些邏輯學家，發展和豐富了形式邏輯。所謂傳統邏輯，就是指由亞里士多德開創、經歷2000多年曆史、至19世紀進入現代發展階段前所發展起來的形式邏輯體系和理論。傳統邏輯通常把命題分為直言命題、選言命題和假言命題，並研究這幾種命題的形式和推理形式。傳統邏輯還包括關於矛盾律和排中律等邏輯規律的理論，以及有關詞項的理論。
傳統邏輯的建立和發展，在人類文明進步的歷史中意義是重大的，但它也有很大的缺陷和侷限。在傳統邏輯中，三段論是一個最完美的理論，構成了一個完整的系統。三段論屬於謂詞邏輯。謂詞有不同型別，分為一元的、二元的、三元的，也稱一目的、二目的…等等。所謂一元的，是表示一個物件的性質的謂詞，如“是動物”、“是素數”；二元的是表示兩個物件之間的關係的謂詞，如“兄弟”、“大於”；三元的是表示三個物件之間的關係的謂詞，如“在…之間”，等等。但是三段論理論只研究以直言命題作前提和結論的這一類推理的推理形式和規律。而所謂直言命題是隻包含一元謂詞的命題。三段論是關於一元謂詞的邏輯理論。對於包含二元以上的謂詞即多元謂詞的命題及其相關的推理形式和規律，傳統邏輯完全沒有研究。它也沒有關於關係的邏輯理論。在謂詞邏輯中，重要的是研究量詞的邏輯性質，而量詞是和謂詞的元數相關聯的。一個只包含一元謂詞的命題是一種最簡單的情形。對於包含多元謂詞的命題，情形馬上變得複雜了。因為量詞的某些邏輯性質，只有在幾個量詞同時出現的場合中才顯示出來，量詞的重要意義也在這時才顯示出來。由於傳統邏輯完全沒有研究包含多元謂詞的關係邏輯，在傳統邏輯的框架內就不可能揭示出量詞的重要邏輯性質和規律，由此決定了傳統邏輯的謂詞邏輯是一個內容貧乏的理論。
在命題聯結詞的研究方面，傳統邏輯研究了某些聯結詞的邏輯性質，但對有的重要的聯結詞則沒有研究。它雖然揭示了與聯結詞相關的某些有效推理形式，但卻沒有把關於命題聯結詞的研究構成一個系統的邏輯理論，也沒有研究多個聯結詞之間的相互聯絡和規律。傳統邏輯的這些缺陷是與其沒有系統地使用符號這一缺陷相聯絡的。因為，要想表示一個包含多元謂詞的命題的形式，就需要有謂詞變元符號和個體變元符號以及表示量詞的符號。傳統邏輯由於不重視對關係的研究，只有主詞和謂詞的概念，因而也就不可能想到使用個體變元符號，也就在所用的工具和研究方法兩個方面限制了自身的發展和研究水平。傳統邏輯由於沒有系統地使用符號，只得較多地依賴自然語言。但自然語言的許多詞項是多義的或有歧義的。這樣，使用自然語言不僅無法精確地表示各種邏輯形式和規律，甚至還會因自然語言的障礙而分辨不清不同的邏輯關係，如“是”這個詞項，在不同的命題中可以表達不同的邏輯關係。
數理邏輯
它是現代形式邏輯。現代形式邏輯之所以在“邏輯”前面加上“數學的”這個形象詞，稱為數理邏輯，一方面是由於在研究中廣泛地使用了人工的符號語言，並發展為使用一種形式化的公理方法，同時也應用了某些數學的工具和具體的結果；另一方面則是由於現代形式邏輯的發展受到數學基礎研究的推動，特別是受到深入研究數學證明的邏輯規律和數學基礎研究中提出來的邏輯問題的推動。研究方法和研究內容方面的這個特點，使得數理邏輯成為既是以研究推理規律為核心內容的邏輯，同時又具有數學的性質。數理邏輯之所以又被稱為符號邏輯，是由於它使用人工的符號語言。數理邏輯的創始人是G.W.萊布尼茨。萊布尼茨提出建立“普遍的符號語言”、推理演算和思維機械化的思想。儘管萊布尼茨本人並沒有實現他所提出的目標，但數理邏輯的發展卻逐步（還沒有全部）實現了萊布尼茨的理想。G.弗雷格在1879年發表的《概念語言》一書中，建立了第一個一階邏輯體系。19世紀70年代，G.F.P.康托爾創立了集合論。集合論，特別是第一個一階邏輯體系的建立，是形式邏輯的發展進入現代階段的標誌。
數理邏輯的範圍
有狹義的和廣義的理解，大體上可分為以下 3個不同的層次：
（1）純邏輯演算。這是最狹意義下的數理邏輯。對這狹義的數理邏輯，也還有寬狹不同的看法。較窄的看法是把純邏輯演算視為一階邏輯，其中包括命題演算的一階謂詞演算；較寬的看法是認為，純邏輯演算除一階邏輯外，還應加上二階邏輯或高階邏輯。一階邏輯是傳統邏輯的直接完善化，它包括並且發展了傳統邏輯關於命題聯結詞和量詞的推理形式、推理規律的研究，首先是方法的完善，具體表現為：它使用人工語言和形式化方法，完善了傳統邏輯的方法；深化和發展了推理形式和規律的研究，建立起完美的理論體系；明確各個命題聯結詞的邏輯性質，提出了與每一個聯結詞相應的推理規則，系統地解決關於命題聯結詞的推理形式和規律的問題，還深入研究了各個聯結詞之間的關係和相互可定義性問題，明確地解決了從哪幾個聯結詞可以定義出全部命題聯結詞，從而建立起了命題邏輯的完全的理論；在謂詞邏輯方面，突破了傳統邏輯只研究僅含一元謂詞的命題的形式和推理規律的侷限，全面研究包含一元謂詞和多元謂詞的命題的形式與推理規律，從而發展了關係邏輯，並建立起關於量詞的完整理論。一階邏輯是形式邏輯發展史上首次建立起來的完整的邏輯理論，它開創了形式邏輯發展的新階段。一階邏輯對傳統邏輯的重大發展還表現在：隨著一階邏輯的創立，元邏輯的研究也逐漸展開。元邏輯是邏輯研究的全新領域，它以一階邏輯系統本身為物件，研究一階邏輯的幾個重要的系統特徵。
（2）廣義理解下的數理邏輯。它包括五個部分或分支，即邏輯演算、模型論、公理集合論、遞迴論以及證明論與構造性數學。其中為建立和研究構造性數學所使用的構造性邏輯，是一種非經典的邏輯。在這五個部分中，邏輯演算是其他各部分的共同基礎。數理邏輯這五個分支的發展，都直接或間接地受到數學基礎研究的推動，與數學基礎問題有密切關係。建立第一個一階邏輯系統的弗雷格就是一位數學家，他對邏輯的興趣來自數學理論問題。弗雷格研究邏輯的目的是要把數學建立在嚴格的邏輯基礎上，從邏輯概念定義出數學概念，從邏輯公理推匯出數學定理，即把數學歸結為邏輯。集合論的公理化、證明論的提出和發展，也都直接和在19～20世紀交替之際發生的關於數學基礎問題的爭論有關。然而，肯定數理邏輯具有數學性質，並不排斥它在本質上仍是一門邏輯科學。數理邏輯的這五個分支是相互滲透、相互促進的。一階邏輯的建立，就有形式系統的解釋問題，即模型論問題。模型論的幾個基礎性定理，最初就是關於一階邏輯的元定理。證明論以證明作為研究的物件，研究證明的規律。遞迴論是關於可計算性的理論，從邏輯觀點看，它也是研究推理的機械性，或者說研究如何把推理機械化的問題。這是萊布尼茨最初提出建立邏輯演算時就懷有的目標和理想。公理集合論則與高階邏輯有特殊關係，它不僅能起高階邏輯的作用，並在一定意義上可以替代高階邏輯。
（3）最廣意義下的數理邏輯。除包括五個部分或分支外，還包括各種非經典邏輯。這實質上是把凡應用特製人工符號語言和形式化方法研究演繹推理和邏輯問題的各種邏輯理論，都包括在數理邏輯範圍中。
非經典邏輯
除了一階和高階邏輯、模型論、公理集合論、遞迴論以及證明論外，都是非經典的邏輯系統。非經典邏輯不同於經典邏輯。經典邏輯是二值外延邏輯，它有兩個基本假定，即二值原則和外延原則。二值原則肯定每一命題或者是真的或者是假的，都以並且只以真、假二值之一為值。矛盾律和排中律反映了這一原則。外延原則肯定每個詞項和命題都有所指，一個詞項的所指是它指稱的物件，一個命題的所指是它的真假，並且所指相同的兩個詞項（命題）可以相互替換。關於等詞的邏輯公理和等值置換原則反映了外延原則。而非經典邏輯則不滿足或不同時滿足這兩個原則。
從一個邏輯系統的語言方面看，有的非經典邏輯系統的語言和經典邏輯相同，但對語言或符號的解釋不同。例如，經典命題演算、構造性命題邏輯、多值邏輯系統的語言都用塡、∧、∨、→這幾個符號構造，但由於在不同系統中對它們的解釋不同，因而各個系統的公理不同，所構造出的邏輯也不同。在這樣的邏輯系統中，經典邏輯的一些規律不成立。如命題演算中的p∨塡p（排中律）在構造性邏輯、多值邏輯中都不成立。但若在構造性邏輯中加上p∨塡p，就使得原來在構造性邏輯中不成立的經典命題演算的定理都可證明，即在構造性邏輯中加上p∨塡p作為公理，就得到經典邏輯。在有的非經典邏輯系統中，外延原則不成立，因此所指相同的詞項、等值的命題不能彼此替換。模態邏輯、認知邏輯、相信邏輯等都是這樣的系統。例如，從“Fa”和“a=b”可以推出“Fb”，但從“甲知道 Fa” 和“a=b”，卻不能通過用b代替a推出“甲知道Fb”。後一個推理關係之所以不成立，是因a、b的所指雖然相同，但涵義不一定相同，而涉及知道的涵義以及知道者的認識。因此，不能根據“a=b”，就用“b”去代替“甲知道Fa”中的a。這樣的邏輯系統也稱為內涵邏輯。在有些邏輯文獻中，也有人把非經典邏輯稱為哲理邏輯。
歷史上，很早就有過對非經典邏輯的研究。早在古希臘時期，亞里士多德就研究過模態邏輯，第歐多魯·克羅納的著作中也包含有時態邏輯的思想。現代對非經典邏輯的研究，是從1910年以後開始的。最早提出和創立的非經典邏輯系統，是C.I.劉易斯建立的模態命題演算；波蘭的J.盧卡西維茨和美國的E.L.波斯特分別於1920和1921年建立了多值邏輯。一階邏輯的建立和發展，是研究和建立各種非經典邏輯的基礎。
研究非經典邏輯的動機和背景是各不相同的，概括地說，大體有以下幾種情況：
（1）由於對基本的邏輯概念和規律有不同的理解、持不同的觀點，從而作不同的處理。構造性邏輯和模態邏輯，就是在這種情況下建立起來的。推動建立構造性邏輯的，是對數學存在和邏輯規律持構造性的觀點。根據構造性的觀點，證明存在一個具有某個性質的物件，就要求具體給出、構造出一個具有該性質的物件，或給出構造一個這樣的物件的方法，而不承認用反證法所作的存在性證明。在構造性邏輯中，命題聯結詞塡、∧、∨和→，全稱量詞和存在量詞，是彼此獨立的，不象在經典邏輯中可以相互定義。構造性邏輯不承認排中律。推動劉易斯創立模態邏輯的，是由於對蘊涵概念有不同的看法。經典邏輯中的蘊涵是實質蘊涵。按照實質蘊涵，公式p→q只有在p取真值而q取假值時，它的值為假，而在其他情況下，p→q的值皆為真。劉易斯認為實質蘊涵沒有反映出聯結詞“如果…那麼”的邏輯性質，而提出嚴格蘊涵概念。按照其嚴格蘊涵的概念，“如果 p，那麼 q” 是表示“p真並且q 假是不可能的”，這就引入了“可能”這個模態詞。嚴格蘊涵定義為p劏q=df塡嘕(p∧塡q)，其中符號劏表示嚴格蘊涵，符號嘕表示可能。使用嚴格蘊涵建立的系統就是一種模態邏輯系統。
（2）基於對數學的興趣或對邏輯理論的興趣，推動非經典邏輯的建立。關於多值邏輯研究的早期情況就是這樣。雖然盧卡西維茨建立第一個三值邏輯系統時，受到過亞里士多德關於未來事件的命題研究的啟發，但從數學的角度看，既然有了二值邏輯系統，就可以很自然地加以推廣，得到三值邏輯、四值邏輯，一般地有n值邏輯，以至得到無窮值的邏輯。因此，多值邏輯實質上就是二值邏輯的自然推廣。而經典命題演算中用真假表定義命題聯結詞的方法，也為研究多值邏輯提供了一個方便有用的方法。應用方面的推動作用，在多值邏輯後來的發展中才體現出來。
（3）與研究自然語言中的某些不屬於經典邏輯研究範圍內的邏輯、半邏輯詞項和語句有關。如“必然性”和“可能性”概念，“應當”、“知道”、“相信”等等，都不屬於經典邏輯研究的範圍。從語言的角度看，經典邏輯只研究陳述語句之間的推理關係。但在自然語言中卻還有命令句、疑問句等等不同型別的語句，有的語句中則有“過去”、“現在”和“未來”等時態，它們的真假和時間因素有關。模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、認知邏輯（見邏輯）等等非經典的邏輯系統，就是通過對這些邏輯或半邏輯詞項以及對各種非陳述句的邏輯性質和關係的研究而建立起來的。
數理邏輯還有一個重要的研究領域，即處於數理邏輯與理論電腦科學之間的關於計算複雜性的研究。在這個領域中的一個重要的問題是尋求重言式的快速判定方法，它的一個發展方向是PROLOG，即程式設計邏輯。語義學的研究對電腦科學也有重要意義，它的一個研究課題是，邏輯概念能否平移到電腦科學？數理邏輯與理論電腦科學有本質的聯絡。
參考書目
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王憲鈞:《數理邏輯引論》，北京大學出版社，1982。
胡世華、陸鍾萬：《數理邏輯基礎》，科學出版社，北京，1981～1982。
莫紹揆：《數理邏輯教程》，華中工學院出版社，武漢，1983。
P.蘇佩斯著，宋文淦等譯：《邏輯導論》，中國社會科學出版社，北京，1984。